미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수와 등비수열

문제

최고차항의 계수가 1\mathrm{1}인 삼차함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다.

방정식 f(x)=9f ( x ) = 9는 서로 다른 세 실근을 갖고, 이 세 실근은 크기 순서대로 등비수열을 이룬다.

f(0)=1f ( 0 ) = 1, f′(2)=−2f' ( 2 ) = - 2일 때, f(3)f ( 3 )의 값은? [4점] ①6\mathrm{6}②7\mathrm{7}③8\mathrm{8}④9\mathrm{9}⑤10\mathrm{10}

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②

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해설

세 실근을 aa, arar, ar2ar ^{2}이라 하면 f(x)f ( x )=(x−a)(x−ar)(x−ar2)+9= ( x - a ) ( x - ar ) ( x - ar ^{2} ) + 9 ==x3−a(1+r+r2)x2+a2r(1+r+r2)x−(ar)3+9x ^{3} - a ( 1 + r + r ^{2} ) x ^{2} + a ^{2} r ( 1 + r + r ^{2} ) x - ( ar ) ^{3} + 9 f′(x)=f' ( x ) =3x2−2a(1+r+r2)x+a2r(1+r+r2)3 x ^{2} - 2 a ( 1 + r + r ^{2} ) x + a ^{2} r ( 1 + r + r ^{2} ) f(0)=−(ar)3+9=1f ( 0 ) = - ( ar ) ^{3} + 9 = 1 f′(2)f' ( 2 )=12−4a(1+r+r2)+a2r(1+r+r2)= 12 - 4 a ( 1 + r + r ^{2} ) + a ^{2} r ( 1 + r + r ^{2} )=−2= - 2 ar=2ar = 2, a(1+r+r2)=7a ( 1 + r + r ^{2} ) = 7 ∴\thereforef(3)=27−63+42+1f ( 3 ) = 27 - 63 + 42 + 1=7= 7

태그

#삼차함수#등비수열#도함수

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