삼차함수의 극솟값

$f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 6 ax = 3 x \left( x + 2 a \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = - 2 a$ 또는 $x = 0$ (ⅰ) $a > 0$인 경우 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극솟값을 가지므로 $f \left( 0 \right) = 4 a = - 40$ $a = - 10 < 0$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a < 0$인 경우 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

함수 $f \left( x \right)$는 $x = - 2 a$에서 극솟값을 가지므로 $f \left( - 2 a \right)$$= \left( - 2 a \right) ^{3} + 3 a \times \left( - 2 a \right) ^{2} + 4 a$ $= 4 a ^{3} + 4 a = - 40$ $a ^{3} + a + 10 = 0$, $\left( a + 2 \right) \left( a ^{2} - 2 a + 5 \right) = 0$ $a = - 2$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a = - 2$이고 $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} - 8$ 따라서 $f \left( 2 \right) = 2 ^{3} - 6 \times 2 ^{2} - 8 = - 24$