삼차함수의 극댓값

$f \left( x \right) = 2 x ^{3} - 3 ax ^{2} + 5 a$에서 $f' \left( x \right) = 6 x ^{2} - 6 ax = 6 x \left( x - a \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = a$ 이때 함수 $f \left( x \right)$가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 $a \ne 0$이어야 한다. (ⅰ) $a > 0$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f \left( x \right)$의 극솟값이 $a$이므로 $- a ^{3} + 5 a = a$, $a ^{3} - 4 a = 0$, $a \left( a + 2 \right) \left( a - 2 \right) = 0$ $\therefore$ $a = 2 \left( \because a > 0 \right)$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값은 $5 a = 5 \times 2 = 10$ (ⅱ) $a < 0$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f \left( x \right)$의 극솟값이 $a$이므로 $5 a = a$에서 $a = 0$ 그런데 $a = 0$은 $a < 0$라는 조건을 만족하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값은 $10$이다.