삼차함수 실근 불연속

$g ( t ) = - f ( t ) + 2 f ( t ) = f ( t )$이고 $y = f ( t )$에서 그래프를 꺾어 올린다.

위의 그림처럼 극솟값이 $0$일 때 $f ( t ) = 0$이 될 때 한번 불연속 $f ( t ) = 4$가 돼서 $- f ( x ) + 2 f ( t ) = 0$이 될 때, 한번 $t$가 극솟점이 될 때 또, 한번 이미 3번 불연속이 나타나므로 가능하지 않다.

극솟값이 양수일 때, 위의 그림처럼 $y = g ( x )$가 그려질 때, $t$가 극소가 될 때, $x$축에 접한다면 불연속점이 $2$번 나타난다. $t _{1}$왼쪽에서 $g ( x ) = 0$의 실근이 $1$개에서 $t _{1}$을 지나면서 $0$개로 바뀌고 $t _{3}$에서 다시 $1$개 $t _{3}$를 지나서 다시 $0$개로 두 번 불연속 그러므로 $f ( t _{3} ) = 4$가 되어야 위의 그림처럼 $x$축과의 교점이 발생한다. $f ( t _{3} ) > 4$이면 $t _{1}$에서만 $1$번 불연속이 되고, $f ( t _{3} ) < 4$이면 접하는 순간을 지나 실근이 $2$개가 되고, $f ( t )$의 값이 증가하면서 다시 접하는 순간, 다시 말해 실근이 $1$개가 되는 순간이 발생하므로 불연속점이 $3$개가 된다. 극솟점의 $x$좌표를 $\alpha$라 할 때, 극대, 극솟값의 차가 $4$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} ( \alpha - 3 ) ^{3} = 4 , \alpha = 5$

위의 그림처럼 $3$차함수의 대칭성을 이용하면, $y = 8$과 만나는 점의 $x$좌표는 $6$임을 알 수 있다. 그러므로 $f ( x ) - 8 = ( x - 3 ) ^{2} ( x - 6 )$ $f ( 8 ) = ( 8 - 3 ) ^{2} ( 8 - 6 ) + 8 = 25 \times 2 + 8 = 58$