삼차함수 삼각형 넓이 최대

원점 $\mathrm{O}$를 통과하는 직선을 $y = mx$(단, $m > 0$)이라 놓으면

$x ^{2} ( 3 - x ) = mx$에서 $x ( x ^{2} - 3 x + m ) = 0$이다. 여기에서 $x \not = 0$이므로 $x ^{2} - 3 x + m = 0$이다. $x ^{2} - 3 x + m = 0$의 서로 다른 두 양의 근을 $\alpha , \beta$($\alpha < \beta$)라 하면 $D = 9 - 4 m > 0$이므로 $\displaystyle 0 < m < \frac{9}{4}$ $\mathrm{\triangle} APQ$의 넓이를 $S$라 하면 $S = \mathrm{\triangle} OAQ - \triangle OAP$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot m \beta - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot m \alpha = \frac{3 m}{2} ( \beta - \alpha )$ $\displaystyle \beta - \alpha = \sqrt{( \alpha + \beta ) ^{2} - 4 \alpha \beta} = \sqrt{9 - 4 m}$ ∴$\displaystyle S = \frac{3}{2} \sqrt{- 4 m ^{3} + 9 m ^{2}}$ 여기에서 $f ( m ) = - 4 m ^{3} + 9 m ^{2}$이라 하면, $\displaystyle 0 < m < \frac{9}{4}$에서 $f ( m ) = - 4 m ^{3} + 9 m ^{2}$의 최대값을 구해보자. $f' ( m ) = - 6 m ( 2 m - 3 )$ 이므로 넓이 $S$는 $\displaystyle m = \frac{3}{2}$일 때, 최대값 $\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$을 갖는다 따라서 $\displaystyle 10 m = 10 \times \frac{3}{2} = 15$