미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차함수 넓이

문제

삼차함수 f(x)f \left( x \right)가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) f′(x)=3x2−4x−4f' ( x ) = 3 x ^{2} - 4 x - 4 (나) 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프는 (2,0)\left( 2 , 0 \right)을 지난다.

이때 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 xx축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4점] ①563\displaystyle \frac{56}{3}②583\displaystyle \frac{58}{3}③2020④623\displaystyle \frac{62}{3}⑤643\displaystyle \frac{64}{3}

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⑤

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해설

[출제의도] 정적분의 성질 이해하기 f′(x)=3x2−4x−4f' ( x ) = 3 x ^{2} - 4 x - 4이므로 f(x)=x3−2x2−4x+Cf ( x ) = x ^{3} - 2 x ^{2} - 4 x + C f(2)=0f ( 2 ) = 0 이므로 f(2)=−8+C=0f ( 2 ) = - 8 + C = 0 ∴C=8\therefore C = 8 f(x)=(x+2)(x−2)2f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}이므로 구하는 도형의 넓이는 ∫−22(x3−2x2−4x+8)dx=643\displaystyle \int _{- 2} ^{2} {\left( x ^{3} - 2 x ^{2} - 4 x + 8 \right)} dx = \frac{64}{3}

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#넓이#삼차함수

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