삼차함수 조건 결정

[출제의도] 다항함수의 미분법과 적분법을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. 삼차항의 계수가 $1$이고 방정식 $f \left( x \right) = f \left( 4 \right)$는 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 가지 경우가 있다. (ⅰ) 함수 $y = f ( x ) - f ( 4 )$의 그래프가 $x = 2$에서 $x$축에 접하고 $x = 4$에서 만나는 경우 $f \left( x \right) = ( x - 2 ) ^{2} ( x - 4 ) + f ( 4 )$ $f' \left( x \right) = 2 ( x - 2 ) ( x - 4 ) + ( x - 2 ) ^{2}$$= ( x - 2 ) ( 3 x - 10 )$이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{11}{3} \right) > 0$이고 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) 함수 $y = f ( x ) - f ( 4 )$의 그래프가 $x = 4$에서 $x$축에 접하는 경우 $f' \left( 2 \right) = 0$, $f' \left( 4 \right) = 0$이므로 $f' \left( x \right) = 3 \left( x - 2 \right) ( x - 4 )$, $\displaystyle f' \left( \frac{11}{3} \right) < 0$ $\displaystyle f \left( x \right) = \int _{} ^{} {3 \left( x - 2 \right) \left( x - 4 \right) dx}$ $= x ^{3} - 9 x ^{2} + 24 x + C$ (단, $C$는 상수이다.) $f \left( 2 \right) = C + 20 = 35$이므로 $C = 15$ $f \left( x \right) = x ^{3} - 9 x ^{2} + 24 x + 15$ 따라서 $f \left( 0 \right) = 15$