삼차함수 조건 보기 판정

(가) 조건에 의해 $f ( - 1 ) = - 1 + a - b \geq 1$ $\therefore a > b$ …… ㉠ (나) 조건에 의해 $f ( 1 ) - f ( - 1 ) = 1 + a + b - ( - 1 + a - b )$$= 2 + 2 b > 8$ $\therefore b > 3$ …… ㉡ ㄱ. $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$ ㉠, ㉡에 의해 $a > b \Rightarrow a ^{2} > ab > 3 b$ ($\because a > b > 3$) 따라서 $D / 4 = a ^{2} - 3 b > 0$ (참) ㄴ. $f' ( - 1 ) = 3 - 2 a + b = 3 - a + b - a$이고 $3 - a < 0$, $b - a < 0$이므로 $\therefore f' ( - 1 ) < 0$ $f' ( 1 ) = 3 + 2 a + b > 0$ 사잇값 정리에 의해 $f' ( x )$는 $( - 1 , 0 )$에서 근을 가진다. $f' ( \alpha ) = 0$이라 하면 $x$가 $( - 1 , \alpha )$에서 $f' ( \alpha ) < 0$이다 (거짓) ㄷ. $f ( x ) = f' ( k ) x$라 하면 $f' ( k ) x$는 $( 0 , 0 )$을 지나는 직선이다. 삼차함수 $f ( x )$와 직선이 $2$개의 교점을 가지려면 직선은 $f ( x )$의 접선이어야한다. ㄱ에 의해 $f' ( x )$는 두 근을 갖고 따라서 $( 0 , 0 )$에서 $f ( x )$에 그은 접선은 $l _{1}$, $l _{2}$ 두 개다.

ⅰ) $l _{1}$인 경우 $f' ( k ) = f' ( 0 )$이므로 위 그림에서 $k = 0 , k _{1}$ ⅱ) $l _{2}$인 경우 $( 0 , 0 )$에서 $f ( x )$에 그은 접선의 접점을 $k _{2}$라 할 때 $f' ( k ) = f' ( k _{2} )$이므로 $k = k _{2} , k _{3}$ 따라서 $k$의 개수는 $4$개다.