삼차함수 적분 조건 보기

[출제의도]　삼차함수의 그래프와 그 도함수의 그래프를 이용하여 명제의 참, 거짓을 구할 수 있는가? ㄱ. 조건 (가)에서 $f' ( x ) = ax ( x - k ) ( a > 0 )$ 라 하면 구간 $[ 0 , k ]$에서 $f' ( x ) \leq 0$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {f' ( x )} dx < 0$ (참) ㄴ. 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{t} {| f' ( x ) |} dx = f ( t ) + f ( 0 )$ 의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $| f' ( t ) | = f' ( t )$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이때, ㉠은 $t > 1$인 모든 실수 $t$에 대하여 성립하므로 $f' ( t ) \geq 0 ( t > 1 )$ 따라서 조건 (가)에서 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극댓값, $x = k$에서 극솟값을 가지므로 $0 < k \leq 1$ 이다. (참) ㄷ. $f' ( x ) = ax ( x - k ) = ax ^{2} - akx$ 에서 $\displaystyle \int _{0} ^{t} {| f' ( x ) |} dx$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{k} {( ax ^{2} - akx )} dx + \int _{k} ^{1} {( ax ^{2} - akx )} dx$ $\displaystyle = - \left[ \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{ak}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{k} + \left[ \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{ak}{2} x ^{2} \right] _{k} ^{1}$ $\displaystyle = - \left( \frac{a k ^{3}}{3} - \frac{a k ^{3}}{2} \right) + \left( \frac{a t ^{3}}{3} - \frac{ak t ^{2}}{2} - \frac{a k ^{3}}{3} + \frac{a k ^{3}}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{ak ^{3}}{6} + \left( \frac{a t ^{3}}{3} - \frac{ak t ^{2}}{2} + \frac{a k ^{3}}{6} \right)$ $\displaystyle = \frac{a t ^{3}}{3} - \frac{ak t ^{2}}{2} + \frac{a k ^{3}}{3}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 또한, $\displaystyle f ( x ) = \int {( ax ^{2} - akx )} dx$ $\displaystyle = \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{ak}{2} x ^{2} + C$ ($C$ 는 적분상수) 라 하면 $\displaystyle f ( t ) + f ( 0 ) = \left( \frac{a}{3} t ^{3} - \frac{ak}{2} t ^{2} + C \right) + C$ $\displaystyle = \frac{a}{3} t ^{3} - \frac{ak}{2} t ^{2} + 2 C$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡이 같아야 하므로 $\displaystyle C = \frac{a k ^{3}}{6}$ 즉, $\displaystyle f ( x ) = \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{ak}{2} x ^{2} + \frac{a k ^{3}}{6}$이므로 극솟값은 $\displaystyle f ( k ) = \frac{a k ^{3}}{3} - \frac{ak ^{3}}{2} + \frac{a k ^{3}}{6} = 0$ (참) 따라서 옳은 것은 $\text{ㄱ} , \text{ㄴ} , \text{ㄷ}$ 이다.