삼차함수 적분 최소

[출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 문제해결하기 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ (단, $a , b , c$는 상수) 라 하면 조건 (가)에 의하여 $c = 0$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$에서 조건 (나)에 의하여 $a = - 6$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 x + b$$= 3 \left( x - 2 \right) ^{2} + b - 12$ 조건 (다)에 의하여 $b \geq 9$이고 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {f \left( x \right) dx}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {( x ^{3} - 6 x ^{2} + bx ) dx}$ $\displaystyle = \left[ \frac{x ^{4}}{4} - 2 x ^{3} + \frac{b}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{3}$ $\displaystyle = - \frac{135}{4} + \frac{9 b}{2} \geq \frac{27}{4}$ ($\because b \geq 9$) $b = 9$일 때, 최솟값 $\displaystyle m = \frac{27}{4}$ 따라서 $4 m = 27$