삼차함수 교점 개수 합

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수의 그래프 추론하기 $f ( 0 ) = 0$이고 $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{1}{3} \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{9} x \left( x - 3 \right) ^{2}$ $x \leq k$에서 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 기울기가 $1$인 직선의 일부이다. 그러므로 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( k , f ( k ) )$에서의 접선의 기울기가 $1$이 되는 $k$의 값을 찾으면 $\displaystyle f' \left( k \right) = \frac{1}{3} \left( k - 1 \right) \left( k - 3 \right) = 1$ $k \left( k - 4 \right) = 0$ $k = 0$ 또는 $k = 4$ (ⅰ) $k = 0$일 때 $f \left( 0 \right) = 0$이므로 $x \leq 0$에서 함수 $g \left( x \right) = x + f \left( 0 \right) = x$이고 $f' \left( 0 \right) = 1$이므로 $x = 0$에서 곡선 $y = f \left( x \right)$에 직선 $y = x$가 접한다. $\displaystyle \frac{1}{9} x \left( x - 3 \right) ^{2} = x$, $x \left( x - 3 \right) ^{2} = 9 x$ $x = 0$ 또는 $x = 6 \cdots \text{㉠}$ 그러므로 $x \leq 0$에서 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $h ( 0 ) = 1$이다.

$y = f ( x )$

(ⅱ) $k = 4$일 때 $x \leq 4$에서 함수 $g ( x ) = \left( x - 4 \right) + f \left( 4 \right)$이고, $f' \left( 4 \right) = 1$이므로 $x = 4$에서 곡선 $y = f \left( x \right)$에 직선 $y = \left( x - 4 \right) + f \left( 4 \right)$가 접한다. 그러므로 $x \leq 4$에서 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $h ( 4 ) = 2$이다.

$y = f ( x )$ $y = \left( x - 4 \right) + f ( 4 )$

(ⅲ) $k = 6$일 때 $\text{㉠}$에서 $f \left( 6 \right) = 6$이므로 $x \leq 6$에서 함수 $g ( x ) = \left( x - 6 \right) + f \left( 6 \right) = x$이다. 그러므로 $x \leq 6$에서 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $h ( 6 ) = 2$이다.

$y = \left( x - 6 \right) + f ( 6 )$ $y = f ( x )$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $0 < k \leq 4$일 때, $h ( k ) = 2$ $4 < k < 6$일 때, $h ( k ) = 3$ $k = 6$일 때, $h ( k ) = 2$ $k > 6$일 때, $h ( k ) = 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{7} h ( k ) = 14$