삼차함수 근과 극솟값 보기

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 삼차함수의 성질을 추론한다. 조건에서 $f \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) ^{2} \left( x - \beta \right)$ ㄱ. $f' \left( x \right)$$= \left( x - \alpha \right) \left( 3 x - \alpha - 2 \beta \right)$ 그러므로 $f' \left( \alpha \right) = 0$ (참) ㄴ. 함수 $f \left( x \right)$가 $\displaystyle x = \frac{\alpha + 2 \beta}{3}$에서 극솟값 $- 4$를 가지므로 $\displaystyle f \left( \frac{\alpha + 2 \beta}{3} \right)$$\displaystyle = \left( \frac{\alpha + 2 \beta}{3} - \alpha \right) ^{2} \left( \frac{\alpha + 2 \beta}{3} - \beta \right)$$= \mathit{-} 4$ $\left( \beta - \alpha \right) ^{3} = 3 ^{3}$에서 $\beta - \alpha = 3$ 그러므로 $\beta = \alpha + 3$ (참) ㄷ. $f \left( 0 \right) = \mathit{-} \alpha ^{2} \beta = 16$이고 ㄴ에서 $\beta = \alpha + 3$이므로 $\alpha ^{3} + 3 \alpha ^{2} + 16 = \left( \alpha + 4 \right) \left( \alpha ^{2} - \alpha + 4 \right) = 0$ $\alpha = \mathit{-} 4$이고 $\beta = \mathit{-} 1$ 그러므로 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 17$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.