미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 극솟값

문제

상수 $a$ 에 대하여 함수 $f \left( x \right) = 3 x ^{3} - 9 x ^{2} + a$ 의 극댓값이 $20$ 일 때, 함수 $f \left( x \right)$ 의 극솟값을 구하시오. [3점]

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해설

$f \left( x \right) = 3 x ^{3} - 9 x ^{2} + a$ 에서 $f' \left( x \right) = 9 x ^{2} - 18 x = 9 x \left( x - 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 함수 $f ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f' ( x )$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f ( x )$	$\nearrow$	$a$	$\searrow$	$- 12 + a$	$\nearrow$

이때 함수 $f \left( x \right)$ 는 $x = 0$ 일 때 극댓값 $20$ 을 가지므로 $f \left( 0 \right) = a = 20$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$ 의 극솟값은 $f \left( 2 \right) = - 12 + a = - 12 + 20 = 8$

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