미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 극솟값

문제

함수 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + 3 a$ 가 $x = - 2$ 에서 극대일 때, 함수 $f ( x )$ 의 극솟값은? (단, $a$ 는 상수이다.) [3점] ① $\mathrm{5}$ ② $\mathrm{6}$ ③ $\mathrm{7}$ ④ $\mathrm{8}$ ⑤ $\mathrm{9}$

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⑤

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[출제의도] 함수의 극대와 극소 이해하기 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + 3 a$ 에서 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax$ 함수 $f \left( x \right)$ 가 $x = - 2$ 에서 극대이므로 $f' \left( - 2 \right) = 12 - 4 a = 0$ , $a = 3$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 6 x = 3 x \left( x + 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = - 2$ 또는 $x = 0$ 함수 $f ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

$x$	$\cdots$	$\mathrm{-} 2$	$\cdots$	$\mathrm{0}$	$\cdots$
$f' ( x )$	$+$	$\mathrm{0}$	$-$	$\mathrm{0}$	$+$
$f ( x )$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$

따라서 함수 $f ( x )$ 의 극솟값은 $f ( 0 ) = 3 a = 9$

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