미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차함수 극댓값

문제

그림은 원점 $\mathrm{O}$ 에 대하여 대칭인 삼차함수 $f ( x )$ 의 그래프이다. 곡선 $y = f ( x )$ 와 $x$ 축이 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 함수 $f ( x )$ 의 극대, 극소인 점을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자.

점 $\mathrm{D}$ 의 $x$ 좌표가 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이고 사각형 $\mathrm{ADBC}$ 의 넓이가 $\displaystyle \sqrt{3}$ 일 때, 함수 $f ( x )$ 의 극댓값은? [3점] ① $1$ ② $\displaystyle \frac{4}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{5}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ⑤ $\displaystyle \sqrt{2}$

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①

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해설

$f ( x ) = ax ^{3} + bx$ 로 놓으면 $f' ( x ) = 3 ax ^{2} + b$ $\displaystyle = 3 a \left( x ^{2} - \frac{1}{4} \right)$ $\therefore$ $\displaystyle b = - \frac{3 a}{4}$ $\displaystyle f ( x ) = ax ^{3} - \frac{3 a}{4} x = ax \left( x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( x + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ 이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{ACB} = \frac{1}{2} \mathrm{\square} ADBC$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times ( \mathrm{\text{극댓값}} ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이다. 따라서 극댓값은 $1$ 이다.

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