삼차함수 극댓값

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수의 극댓값과 극솟값을 구할 수 있는가 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 1$에서 극솟값 $- 2$를 가지므로 $f \left( 1 \right) = \mathit{-} 2$에서 $a + b + a = \mathit{-} 2$ $2 a + b = \mathit{-} 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또, $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} + b$이고 $f' \left( 1 \right) = 0$이어야 하므로 $3 a + b = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하면 $a = 2$, $b = \mathit{-} 6$ 그러므로 $f \left( x \right) = 2 x ^{3} - 6 x + 2$ 이고 $f' \left( x \right)$$= 6 x ^{2} - 6$$= 6 \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)$ 이때 $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = \mathit{-} 1$ 또는 $x = 1$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 1$에서 극댓값 $6$을 갖는다.