미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차함수 f(6) 최대최소

문제

최고차항의 계수가 11이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 f(x)f ( x )에 대하여 f(6)f ( 6 )의 최댓값과 최솟값의 합은? [4점]

(가) f(2)=f′(2)=0f ( 2 ) = f' ( 2 ) = 0 (나) 모든 실수 xx에 대하여 f′(x)≥−3f' ( x ) \geq - 3이다.

①128128②144144③160160④176176⑤192192

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①

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해설

(가)로부터 f(x)=(x−2)2(x−c)f ( x ) = ( x - 2 ) ^{2} ( x - c )=x3−(4+c)x2+(4+4c)x−4c= x ^{3} - ( 4 + c ) x ^{2} + ( 4 + 4 c ) x - 4 c (나)에서 f′(x)=3x2−2(4+c)x+(4+4c)f' ( x ) = 3 x ^{2} - 2 ( 4 + c ) x + ( 4 + 4 c )≥−3\geq - 3 3x2−2(4+c)x+(7+4c)≥03 x ^{2} - 2 ( 4 + c ) x + ( 7 + 4 c ) \geq 0 D/4=(4+c)2−3(7+4c)D / 4 = ( 4 + c ) ^{2} - 3 ( 7 + 4 c )=c2−4c−5= c ^{2} - 4 c - 5 =(c−5)(c+1)≤0= ( c - 5 ) ( c + 1 ) \leq 0, −1≤c≤5- 1 \leq c \leq 5 f(6)=16(6−c)f ( 6 ) = 16 ( 6 - c )의 최대와 최소는 각각 c=−1c = - 1, c=5c = 5일 때 이므로 16(6+1)+16(6−5)=12816 ( 6 + 1 ) + 16 ( 6 - 5 ) = 128

태그

#삼차함수#판별식#최대최소

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