미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차함수 두 접선

문제

그림과 같이 삼차함수 f(x)=−x3+4x2−3xf ( x ) = - x ^{3} + 4 x ^{2} - 3 x의 그래프 위의 점 (a,f(a))( a , f ( a ) )에서 기울기가 양의 값인 접선을 그어 xx축과 만나는 점을 A\mathrm{A}, 점 B(3,0)\mathrm{B} ( 3 , 0 )에서 접선을 그어 두 접선이 만나는 점을 C\mathrm{C}, 점 C\mathrm{C}에서 xx축에 수선을 그어 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하고 AD‾:DB‾=3:1\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : \overline{DB} = 3 : 1일 때, aa의 값들의 곱은? [4점]

①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

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⑤

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해설

점B\mathrm{B}에서의 접선의 기울기는 f′(3)=−6f' ( 3 ) = - 6 AD‾:DB‾=3:1\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : \overline{DB} = 3 : 1 이므로 BD‾=k\displaystyle {\mathrm{\overline{BD}}} = k(k>0)( k > 0 )라 하면 AD‾=3k\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}}} = 3 k 직선 BC\mathrm{BC}의 기울기는 CD‾−k=−6\displaystyle \frac{{\mathrm{\overline{CD}}}}{- k} = - 6이므로 CD‾=6k\displaystyle {\mathrm{\overline{CD}}} = 6 k 또, 직선 AC\mathrm{AC}의 기울기는 6k3k=2\displaystyle \frac{6 k}{3 k} = 2 따라서, f′(a)=−3a2+8a−3f' ( a ) = - 3 a ^{2} + 8 a - 3에서 −3a2+8a−3=2- 3 a ^{2} + 8 a - 3 = 2, 3a2−8a+5=03 a ^{2} - 8 a + 5 = 0 ∴ 모든 aa값들의 곱은 53\displaystyle \frac{5}{3}

태그

#접선#삼차함수

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