삼차곡선과 직선 넓이

$f \left( x \right) = x \left( x - a \right) \left( x - a - 1 \right)$이므로 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = 2 x$가 만나는 점의 $x$좌표는 $x \left( x - a \right) \left( x - a - 1 \right) = 2 x$에서 $x \left( x - a + 1 \right) \left( x - a - 2 \right) = 0$ $x = 0$ 또는 $x = a - 1$ 또는 $x = a + 2$ $a > 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} < {\overline{\mathrm{OQ}}}$이므로 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\left( a - 1 , 2 a - 2 \right)$ 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 $\left( a + 2 , 2 a + 4 \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = \sqrt{5 \left( a + 2 \right) ^{2}} = 5 \sqrt{5}$이므로 $a = 3$ ${\mathrm{P}} \left( 2 , 4 \right)$, ${\mathrm{Q}} \left( 5 , 10 \right)$이고 $f \left( x \right) = x ^{3} - 7 x ^{2} + 12 x$ $\displaystyle A = \int _{0} ^{2} 2 x dx + \int _{2} ^{3} \left( x ^{3} - 7 x ^{2} + 12 x \right) dx$ $\displaystyle B = \int _{3} ^{4} \left\{ - \left( x ^{3} - 7 x ^{2} + 12 x \right) \right\} dx$ $A - B$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} 2 x dx + \int _{2} ^{4} \left( x ^{3} - 7 x ^{2} + 12 x \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{2} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - \frac{7}{3} x ^{3} + 6 x ^{2} \end{array} \right] _{2} ^{4} = \frac{16}{3}$