삼차곡선과 직선 교점

[출제의도] 접선의 방정식을 이해하여 수열의 합을 구한다. 함수 $y = x ^{3} + 2$의 그래프와 직선 $y = kx$는 제$3$사분면에서 $1$개의 교점을 갖는다. 함수 $y = x ^{3} + 2$의 그래프와 직선 $y = kx$가 접하는 경우 그 접점의 좌표를 $( t , t ^{3} + 2 )$라 하자. 접선의 방정식은 $y - ( t ^{3} + 2 ) = 3 t ^{2} ( x - t )$이고 접선이 원점을 지나므로 $t ^{3} = 1$ $t$는 실수이므로 $t = 1$이고 접점의 좌표는 $( 1 , 3 )$이다. 원점을 지나는 접선의 기울기가 $3$이므로 $f ( 3 ) = 2$ $f \left( 1 \right) = 1$, $f \left( 2 \right) = 1$, $k > 3$인 경우 $f \left( k \right) = 3$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} f \left( k \right) = 1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3 = 13$