미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차곡선에 접선 3개가 그어지는 영역

문제

곡선 y=x3+1y = x ^{3} + 1에 대하여 곡선 밖의 점 (a,b)( a , b )에서 곡선에 그은 접선의 개수가 3일 때, 점 (a,b)( a , b )가 나타내는 영역의 넓이는? (단, 0≤a≤10 \leq a \leq 1) [5점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤34\displaystyle \frac{3}{4}

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①

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해설

접점을 (t,t3+1)( t , t ^{3} + 1 )이라고 하면 y′=3x2y' = 3 x ^{2}에서 접선의 방정식은 y=3t2(x−t)+t3+1y = 3 t ^{2} ( x - t ) + t ^{3} + 1 이므로 방정식 b=−2t3+3at2+1b = - 2 t ^{3} + 3 at ^{2} + 1 가 서로 다른 세 실근을 갖도록 한다. f(t)=2t3−3at2+b−1f ( t ) = 2 t ^{3} - 3 at ^{2} + b - 1, f′(t)=6t2−6atf' ( t ) = 6 t ^{2} - 6 at=6t(t−a)= 6 t ( t - a ) f(0)f(a)=(b−1)(−a3+b−1)<0f ( 0 ) f ( a ) = ( b - 1 ) ( - a ^{3} + b - 1 ) < 0 경계선 b=1b = 1, b=a3+1b = a ^{3} + 1 와 0≤a≤10 \leq a \leq 1에서 구하려는 영역의 넓이는 ∫01(x3+1−1)dx=14\displaystyle \int _{0} ^{1} ( x ^{3} + 1 - 1 ) dx = \frac{1}{4}

태그

#삼차함수#접선의 개수#정적분

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