삼차다항식 조건

[출제의도] 나머지정리를 이용한 다항식 추론하기 조건 (가)에서 $x = 1$을 대입하면 $P ( 1 ) = 0$이다. $x = 7$을 대입하면 $P ( 5 ) = 0$이다. $P ( x )$는 삼차다항식이므로 조건 (나)에 의해 $P ( x ) = ( x ^{2} - 4 x + 2 ) ( ax + b ) + 2 x - 10$이다. (단, $a$, $b$는 상수) $P ( 1 ) = 0$이므로 $- a - b - 8 = 0$ 따라서 $a + b = - 8$이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ $P ( 5 ) = 0$이므로 $35 a + 7 b = 0$ 따라서 $5 a + b = 0$이다. $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡에 의하여 $a = 2$, $b = - 10$이다. 따라서 $P ( x ) = ( x ^{2} - 4 x + 2 ) ( 2 x - 10 ) + 2 x - 10$이므로 $P ( 4 ) =$$- 6$이다. [다른풀이1] 조건 (가)에서 $x = 1$을 대입하면 $P ( 1 ) = 0$이고, $x = 7$을 대입하면 $P ( 5 ) = 0$이므로 상수 $a , k$에 대하여 $P ( x ) = a ( x - 1 ) ( x - 5 ) ( x - k )$이다. (단, $a \ne 0$) 위 식을 조건 (가)에 대입하면 $a ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 7 ) ( x - k - 2 )$ $= a ( x - 7 ) ( x - 1 ) ( x - 5 ) ( x - k )$ 이므로 $( x - 3 ) ( x - k - 2 ) = ( x - 5 ) ( x - k )$ 즉, $k = 3$이다. 따라서 $P ( x ) = a ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 5 )$이다. 조건 (나)에 의해 $P ( x )$를 $x ^{2} - 4 x + 2$로 나눈 몫을 $Q ( x )$라 하면 $a ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) = ( x ^{2} - 4 x + 2 ) Q ( x ) + 2 x - 10$ 즉,$a ( x ^{2} - 4 x + 3 ) ( x - 5 ) = ( x ^{2} - 4 x + 2 ) Q ( x ) + 2 x - 10$$\cdots$㉠ $x ^{2} - 4 x + 2 = 0$의 해를 $\alpha$라 하면 $\alpha ^{2} - 4 \alpha + 2 = 0$이므로 식 ㉠에 $x = \alpha$를 대입하면 $a ( \alpha - 5 ) = 2 \alpha - 10$ 즉, $a = 2$이다. 따라서 $P ( x ) = 2 ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 5 )$이므로 $P ( 4 ) = - 6$이다. [다른풀이2] 조건 (나)에 의해 $P ( x ) = ( x ^{2} - 4 x + 2 ) Q ( x ) + 2 x - 10$ 으로 둘 수 있다.($Q ( x )$는 일차식) 조건 (가)에 위의 식을 대입하면 좌변은 $( x - 1 ) P ( x - 2 )$ $= ( x - 1 ) \left\{ ( x - 2 ) ^{2} - 4 ( x - 2 ) + 2 \right\} Q ( x - 2 ) + 2 ( x - 2 ) - 10$ $= ( x - 1 ) ( x ^{2} - 8 x + 14 ) Q ( x - 2 ) + 2 ( x - 7 )$ 우변은 $( x - 7 ) P ( x )$ $= ( x - 7 ) \left\{ ( x ^{2} - 4 x + 2 ) Q ( x ) + 2 ( x - 5 ) \right\}$ 좌변과 우변을 비교하면 $( x ^{2} - 8 x + 14 ) Q ( x - 2 )$가 $x - 7$을 인수로 가져야 한다. 즉, $Q ( x - 2 )$는 $x - 7$을 인수로 가져야 한다. 그러므로 $Q ( x - 2 ) = a ( x - 7 )$이 되어 $Q ( x ) = a ( x - 5 )$를 얻는다. 또한 $a ( x ^{2} - 4 x + 2 ) ( x - 5 ) + 2 ( x - 5 )$가 $x - 1$을 인수로 가지므로 $x = 1$을 대입하면 $a ( 1 - 4 + 2 ) \times ( - 4 ) + ( - 8 ) = 0$이다. 따라서 $a = 2$이다. 다항식 $P ( x ) = 2 ( x ^{2} - 4 x + 2 ) ( x - 5 ) + 2 ( x - 5 )$이므로 $P ( 4 ) = - 6$이다.