삼차부등식 항상 성립

$f ( x ) = x ^{3} - 5 x ^{2} + 3 x + n$이라 하자. $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 10 x + 3 = 0$에서 $\displaystyle f' \left( \frac{1}{3} \right) = 0 , f' ( 3 ) = 0$ 즉, 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

이때 $f ( 0 ) = n$, $f ( 3 ) = n - 9$이므로 양의 실수 $x$에 대하여 $y = f ( x )$의 최솟값은 $n - 9$ 따라서 $n - 9 \geq 0$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $9$