삼차방정식의 허근 조건

삼차방정식 $x ^{3} + 3 x ^{2} + \left( 16 - a \right) x + a - 20 = 0$을 조립제법을 이용하여 인수분해하면

$x ^{3} + 3 x ^{2} + \left( 16 - a \right) x + a - 20$ $= \left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + 4 x + 20 - a \right) = 0$ 이므로 방정식 $x ^{3} + 3 x ^{2} + \left( 16 - a \right) x + a - 20 = 0$이 허근을 가지려면 이차방정식 $x ^{2} + 4 x + 20 - a = 0$이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다. 이차방정식 $x ^{2} + 4 x + 20 - a = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = 4 ^{2} - 4 \left( 20 - a \right) < 0$에서 $a < 16$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 개수는 $\mathrm{15}$