삼차방정식과 이차방정식의 공통근

$a , b , c$가 실수이므로 근과 계수와의 관계로부터 삼차방정식 $x ^{3} + a x ^{2} + b x + c = 0$은 $\displaystyle 1 + \sqrt{2} i$를 근으로 가진다. 따라서, 세 근을 $\displaystyle 1 \pm \sqrt{2} i$, $\alpha$라 하면 근과 계수와의 관계로부터 $\displaystyle ( 1 + \sqrt{2} i ) + ( 1 - \sqrt{2} i ) + \alpha = - a$, $\displaystyle ( 1 + \sqrt{2} i ) ( 1 - \sqrt{2} i ) + ( 1 + \sqrt{2} i ) \cdot \alpha + \alpha \cdot ( 1 - \sqrt{2} i ) = b$ $\displaystyle ( 1 + \sqrt{2} i ) ( 1 - \sqrt{2} i ) \alpha = - c$ 위의 세 식을 정리하면 $a = - ( 2 + \alpha ) \cdots$(1) $b = 2 \alpha + 3 \cdots$(2) $c = - 3 \alpha \cdots$(3) 공통근이 한 개이므로 방정식 $x ^{2} + a x + 2 = 0$은 위의 세 근중 허근을 근으로 가질 수 없다. 허근을 근으로 가지는 경우 켤레복소수도 반드시 근으로 가지게 되어 공통근이 $2$개가 되기 때문이다. 따라서, 방정식 $x ^{2} + a x + 2 = 0$는 $\alpha$를 근으로 갖는다. $\alpha ^{2} + a \alpha + 2 = 0$ 식 (1)에 의하여 $\alpha ^{2} - ( 2 + \alpha ) \alpha + 2 = - 2 \alpha + 2 = 0$ $\therefore \alpha = 1$ 따라서, 식 (1), (2), (3)을 이용하면 $a = - 3 , b = 5 , c = - 3$ $\therefore abc = 45$