삼차방정식 실근 개수

삼차방정식 $x ^{3} + 5 x ^{2} + \left( a - 6 \right) x - a = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $\mathrm{2}$가 되기 위해서는 주어진 삼차방정식이 한 개의 중근을 가져야 한다. $x ^{3} + 5 x ^{2} + \left( a - 6 \right) x - a = 0$ $\left( x - 1 \right) \left( x ^{2} + 6 x + a \right) = 0$ (ⅰ) 이차방정식 $x ^{2} + 6 x + a = 0$이 $\mathrm{1}$과 $\mathrm{1}$이 아닌 실근을 갖는 경우 $1 ^{2} + 6 \times 1 + a = 0$, $a = - 7$ 주어진 삼차방정식은 $\left( x + 7 \right) \left( x - 1 \right) ^{2} = 0$ $x = - 7$ 또는 $x = 1$(중근) (ⅱ) 이차방정식 $x ^{2} + 6 x + a = 0$이 $\mathrm{1}$이 아닌 중근을 갖는 경우 이차방정식 $x ^{2} + 6 x + a = 0$의 판별식을 $D$라 할 때 $\displaystyle \frac{D}{4} = 3 ^{2} - a = 0$, $a = 9$ 주어진 삼차방정식은 $\left( x + 3 \right) ^{2} \left( x - 1 \right) = 0$ $x = - 3$(중근) 또는 $x = 1$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 실수 $a$의 값은 $- 7$, $9$ 따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 $\mathrm{2}$