미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼차방정식 실근 개수

문제

방정식 x3−3x2−9x−k=0x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x - k = 0의 서로 다른 실근의 개수가 33이 되도록 하는 정수 kk의 최댓값은? [4점]

①22②44③66④88⑤1010

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②

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해설

f(x)=x3−3x2−9xf ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x라 하자. f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)=0f' ( x ) = 3 x ^{2} - 6 x - 9 = 3 ( x + 1 ) ( x - 3 ) = 0에서 x=−1,3x = \mathit{-} 1 , 3이므로 f(x)f ( x )는 x=−1x = \mathit{-} 1에서 극댓값 f(−1)=5f ( - 1 ) = 5, x=3x = 3에서 극솟값 f(3)=−27f ( 3 ) = \mathit{-} 27을 갖는다. f(x)=kf ( x ) = k가 서로 다른 세 개의 실근을 갖기 위해서는 kk가 f(x)f ( x )의 극솟값과 극댓값 사이의 가져야 하므로 −27<k<5- 27 < k < 5가 된다. 따라서 정수 kk의 최댓값은 44이다.

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#실근의 개수#극값

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