삼차방정식 직각삼각형

[출제의도] 삼차방정식과 도형과의 관계 추론하기 삼차방정식 $2 x ^{3} - 5 x ^{2} + \left( k + 3 \right) x - k = 0$에서 $\left( x - 1 \right) \left( {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} 2 x ^{2} - 3 x _{{} _{}}}} + k \right) = 0$ 이므로 삼차방정식 $2 x ^{3} - 5 x ^{2} + \left( k + 3 \right) x - k = 0$의 서로 다른 세 실근은 $1$과 이차방정식 ${\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} 2 x ^{2} - 3 x _{{} _{}}}} + k = 0$의 두 근이다. 이차방정식 ${\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} 2 x ^{2} - 3 x _{{} _{}}}} + k = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$ $\left( \alpha > \beta \right)$라 하자. $1$, $\alpha$, $\beta$가 직각삼각형의 세 변의 길이가 되는 경우는 다음과 같이 $2$가지로 나눌 수 있다. (ⅰ) 빗변의 길이가 $1$인 경우 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 1$이므로 $\left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta = 1$이다. 이차방정식 $2 x ^{2} - 3 x + k = 0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{3}{2}$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{k}{2}$이다. $\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} - 2 \times \frac{k}{2} = 1$ 이므로 $\displaystyle k = {\square {{}_{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}} \frac{5}{4}}}$이다. 그런데 $\displaystyle {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} 2 x ^{2} - 3 x _{{} _{}}}} + \frac{5}{4} = 0$에서 판별식 $D < 0$이므로 $\alpha$, $\beta$는 실수가 아니다. 따라서 $1$, $\alpha$, $\beta$가 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다. (ⅱ) 빗변의 길이가 $\alpha$인 경우 $1 + \beta ^{2} = \alpha ^{2}$이므로 $\left( \alpha + \beta \right) \left( \alpha - \beta \right) = 1$이다. $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{3}{2}$, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{k}{2}$에서 $\displaystyle \alpha - \beta = \frac{2}{3}$이고, $\left( \alpha - \beta \right) ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta$ $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} = \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} - 4 \times \frac{k}{2}$ 이므로 $\displaystyle k = {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \frac{65}{{72} _{{} _{}}}}}$이다. 이때 $\displaystyle \alpha = \frac{13}{12}$, $\displaystyle \beta = \frac{5}{12}$이므로 $1$, $\alpha$, $\beta$는 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있다. 따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle k = {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \frac{65}{72 _{{} _{}}}}}$이다. 그러므로 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} - 3 x$, $\displaystyle p = \frac{5}{4}$, $\displaystyle q = \frac{65}{72}$이다. 따라서 $\displaystyle f \left( 3 \right) \times \frac{q}{p} = 9 \times \frac{\frac{65}{72}}{\frac{5}{4}} = \frac{13}{2}$이다.