공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼차방정식 근의 절댓값 증명

문제

세 개의 실근을 갖는 삼차방정식 x3+ax2+bx+c=0x ^{3} + ax ^{2} + bx + c = 0의 세 근을 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma라 하자. 다음은 세 근의 절대값 중 적어도 하나는 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 크거나 같음을 증명한 것이다.

[ 증 명 ]
결론을 부정하여 □(가)\square {\text{(가)}} 라고 가정하면, ∣α∣<∣a∣3\displaystyle | \alpha | < \frac{| a |}{3}, ∣β∣<∣a∣3\displaystyle | \beta | < \frac{| a |}{3}, ∣γ∣<∣a∣3\displaystyle | \gamma | < \frac{| a |}{3}이다. 근과 계수와의 관계에서 a=□(나)a = \square {\text{(나)}}이므로 ∣a∣≤∣α+β∣+∣γ∣≤□(다)| a | \leq | \alpha + \beta | + | \gamma | \leq \square {\text{(다)}} ≺∣a∣3+∣a∣3+∣a∣3=∣a∣\displaystyle \prec \frac{| a |}{3} + \frac{| a |}{3} + \frac{| a |}{3} = | a |이다. 그런데 이것은 모순이므로, 절대값이 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 크거나 같은 근이 적어도 하나 존재한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [1점] ①어떤 근의 절대값이 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 작다, −(α+β+γ),∣α∣+∣β∣+∣γ∣- ( \alpha + \beta + \gamma ) , | \alpha | + | \beta | + | \gamma |②어떤 근의 절대값이 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 작거나 같다, α+β+γ,∣α∣+∣β∣+∣γ∣\alpha + \beta + \gamma , | \alpha | + | \beta | + | \gamma |③모든 근의 절대값이 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 작다, α+β+γ,∣α+β+γ∣\alpha + \beta + \gamma , | \alpha + \beta + \gamma |④모든 근의 절대값이 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 작다, −(α+β+γ),∣α∣+∣β∣+∣γ∣- ( \alpha + \beta + \gamma ) , | \alpha | + | \beta | + | \gamma |⑤모든 근의 절대값이 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 작거나 같다, α+β+γ,∣α+β+γ∣\alpha + \beta + \gamma , | \alpha + \beta + \gamma |

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④

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해설

결론 ｢세 근의 절대값 중 적어도 하나는 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 크거나 같다.｣를 부정하면 ㈎는 ｢모든 근의 절대값이 ∣a∣3\displaystyle \frac{| a |}{3}보다 작다.｣이다. 또, 근과 계수의 관계에서 α+β+γ=−a\alpha + \beta + \gamma = - a이므로 ㈏는 [−(α+β+γ)][ - ( \alpha + \beta + \gamma ) ]이다. ∣a∣=∣α+β+γ∣| a | = | \alpha + \beta + \gamma |≤∣α+β∣+∣γ∣\leq | \alpha + \beta | + | \gamma | ≤∣α∣+∣β∣+∣γ∣\leq | \alpha | + | \beta | + | \gamma |<∣a∣3+∣a∣3+∣a∣3\displaystyle < \frac{| a |}{3} + \frac{| a |}{3} + \frac{| a |}{3}=∣a∣= | a |에서 ㈐는 [∣α∣+∣β∣+∣γ∣][ | \alpha | + | \beta | + | \gamma | ]이다.

태그

#귀류법#근과 계수의 관계

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