공통수학1여러 가지 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼차방정식 근의 곱 조건

문제

xx에 대한 삼차방정식 x3−(a2+a−1)x2−a(a−3)x+4a=0x ^{3} - \left( a ^{2} + a - 1 \right) x ^{2} - a \left( a - 3 \right) x + 4 a = 0 이 서로 다른 세 실근 α\alpha, β\beta, γ(α<β<γ)\gamma \left( \alpha < \beta < \gamma \right)를 가질 때, α×γ=−4\alpha \times \gamma = - 4가 되도록 하는 모든 실수 aa의 값의 합은? [4점] ①1\mathrm{1}②2\mathrm{2}③3\mathrm{3}④4\mathrm{4}⑤5\mathrm{5}

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①

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해설

x3−(a2+a−1)x2−a(a−3)x+4ax ^{3} - \left( a ^{2} + a - 1 \right) x ^{2} - a \left( a - 3 \right) x + 4 a =(x+1){x2−a(a+1)x+4a}=0= \left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} - a \left( a + 1 \right) x + 4 a \right\} = 0이므로 x=−1x = - 1은 주어진 삼차방정식의 한 실근이다. (ⅰ) α=−1\alpha = - 1인 경우 −1×γ=−4- 1 \times \gamma = - 4에서 γ=4\gamma = 4이므로 −1<β<4- 1 < \beta < 4이다. 이차방정식 x2−a(a+1)x+4a=0x ^{2} - a \left( a + 1 \right) x + 4 a = 0의 두 근이 β\beta, 44이므로 근과 계수의 관계에 의해 4β=4a4 \beta = 4 a에서 β=a\beta = a이다. γ=4\gamma = 4를 x2−a(a+1)x+4a=0x ^{2} - a ( a + 1 ) x + 4 a = 0에 대입하면 16−4a2=016 - 4 a ^{2} = 0에서 a=±2a = \pm 2이다. ① a=−2a = - 2인 경우 β=−2\beta = - 2이므로 −1<β<4- 1 < \beta < 4를 만족시키지 않는다. ② a=2a = 2인 경우 β=2\beta = 2이므로 −1<β<4- 1 < \beta < 4를 만족시킨다. ①, ②에 의해 a=2a = 2이다. (ⅱ) β=−1\beta = - 1인 경우 α\alpha, γ\gamma는 이차방정식 x2−a(a+1)x+4a=0x ^{2} - a ( a + 1 ) x + 4 a = 0의 두 근 이므로 근과 계수의 관계에 의해 αγ=4a=−4\alpha \gamma = 4 a = - 4에서 a=−1a = - 1이다. a=−1a = - 1을 x2−a(a+1)x+4a=0x ^{2} - a \left( a + 1 \right) x + 4 a = 0에 대입하면 x2=4x ^{2} = 4, x=±2x = \pm 2이다. α=−2\alpha = - 2, γ=2\gamma = 2이므로 α<β<γ\alpha < \beta < \gamma를 만족시킨다. (ⅲ) γ=−1\gamma = - 1인 경우 α×(−1)=−4\alpha \times \left( - 1 \right) = - 4에서 α=4\alpha = 4이므로 α<β<γ\alpha < \beta < \gamma를 만족시키지 않는다. 따라서(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 a=2a = 2 또는 a=−1a = - 1이므로 모든 aa의 값의 합은 1\mathrm{1}이다.

태그

#삼차방정식#근과 계수의 관계#경우 나누기

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