삼차 일차 다항식

[출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식 추론하기 (가)에서 $Q \left( 1 \right) = 0$인 경우와 $Q \left( 1 \right) \ne 0$인 경우로 나눌 수 있다. (ⅰ) $Q \left( 1 \right) = 0$인 경우 $Q \left( x \right) = a \left( x - 1 \right)$ ($a \ne 0$)라 하면 (나)에 의해 $P \left( x \right) = x ^{3} - 10 x + 13 - \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$ $= x ^{3} - a ^{2} x ^{2} + \left( 2 a ^{2} - 10 \right) x + 13 - a ^{2}$ 이고 (가)에 의해 $x ^{3} - a ^{2} x ^{2} + \left( 2 a ^{2} - 10 \right) x + 13 - a ^{2}$이 $x ^{2} - 3 x + 3$으로 나누어떨어져야 하므로 $\displaystyle LONG \div {x ^{2} - 3 x + 3} {x + \left( - a ^{2} + 3 \right) _{{} _{}}} {\begin{aligned} x ^{3} - a ^{2} x ^{2} + \left( 2 a ^{2} - 10 \right) x + 13 - a _{{} _{}} ^{2} \\ x ^{3} - 3 x ^{2} + 3 x _{{} _{}} \\ {\overline{\left( - a ^{2} + 3 \right) x ^{2} + \left( 2 a ^{2} - 13 \right) x + 13 - a _{{} _{}} ^{2}}} \\ \left( - a ^{2} + 3 \right) x ^{2} - 3 \left( - a ^{2} + 3 \right) x + 3 \left( - a ^{2} + 3 \right) _{{} _{}} \\ {\overline{\left( - a ^{2} - 4 \right) x + 4 + 2 a ^{2}}} \end{aligned}}$ 에서 $\left( - a ^{2} - 4 \right) x + 4 + 2 a ^{2} = 0$을 만족시키는 $a$는 존재하지 않는다. (ⅱ) $Q \left( 1 \right) \ne 0$인 경우 $P \left( x \right)$는 $x ^{2} - 3 x + 3$과 $x - 1$을 인수로 가지고 (나)에 의해 $x ^{3} - 2 x + 1 - P \left( x \right)$는 이차식이 되어야 하므로 $P \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 $1$이다. $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 3 x + 3 \right) \left( x - 1 \right) = x ^{3} - 4 x ^{2} + 6 x - 3$ 이고, (나)에 의해 $\left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2} = x ^{3} - 10 x + 13 - P \left( x \right)$ $= x ^{3} - 10 x + 13 - \left( x ^{3} - 4 x ^{2} + 6 x - 3 \right) = 4 x ^{2} - 16 x + 16$이다. $\left\{ Q ( x ) \right\} ^{2} = \left( 2 x - 4 \right) ^{2}$이므로 $Q \left( x \right) = 2 x - 4$ 또는 $Q \left( x \right) = \mathit{-} 2 x + 4$이고 $Q \left( 0 \right) < 0$에서 $Q \left( x \right) = 2 x - 4$이다. 따라서 $P \left( 2 \right) + Q \left( 8 \right) = 13$이다. [다른 풀이] (ⅰ) $Q \left( 1 \right) = 0$인 경우 $Q \left( x \right) = a \left( x - 1 \right)$ ($a \ne 0$)라 하면 (나)에 의해 $P \left( x \right) = x ^{3} - 10 x + 13 - \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2}$ $= x ^{3} - a ^{2} x ^{2} + \left( 2 a ^{2} - 10 \right) x + 13 - a ^{2} \cdots \cdots \text{㉠}$ 이다. (나)에 의해 $x ^{3} - 2 x + 1 - P \left( x \right)$는 이차식이 되어야 하므로 $P \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 이차식 $x ^{2} - 3 x + 3$과 일차식 $x - k$를 인수로 가지므로 $P \left( x \right) = \left( x ^{2} - 3 x + 3 \right) \left( x - k \right)$ $= x ^{3} + \left( - k - 3 \right) x ^{2} + \left( 3 k + 3 \right) x - 3 k \cdots \cdots \text{㉡}$ 이다. ㉠과 ㉡에 의하여 $- a ^{2} = \mathit{-} k - 3$, $2 a ^{2} - 10 = 3 k + 3$, $13 - a ^{2} = \mathit{-} 3 k$를 만족시키는 $a$와 $k$는 존재하지 않는다.