사인함수 적분 조건

[출제의도] 정적분의 성질과 삼각함수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{a}} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{a}} \sin ( ax ) dx$$\displaystyle = \left[ - \frac{1}{a} \cos ( ax ) \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \right] _{0} ^{\frac{\pi}{a}}$$\displaystyle = \frac{2}{a}$ $\displaystyle \frac{2}{a} \geq \frac{1}{2}$이므로 $0 < a \leq 4$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{3 \pi} {} \left\{ \left| f ( x ) + t \right| - \left| f ( x ) - t \right| \right\} dx = 0$ $g ( x ) = \left| f ( x ) + t \right| - \left| f ( x ) - t \right|$라 하면 $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} - 2 t & ( - 1 \leq \sin ( ax ) < \mathit{-} t ) \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \\ \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} 2 \sin ( ax ) & ( - t \leq \sin ( ax ) < t ) \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \\ \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} 2 t & ( t \leq \sin ( ax ) \leq 1 ) \end{cases}$

함수 $y = g ( x )$의 그래프가 그림과 같으므로 $\displaystyle 0 < k < \frac{2 \pi}{a}$인 모든 실수 $k$에 대하여 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {} g ( x ) dx > 0$이고, $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{2 \pi}{a}} g ( x ) dx = 0$이다. 함수 $g ( x )$는 주기가 $\displaystyle \frac{2 \pi}{a}$이고 $\displaystyle \int _{0} ^{3 \pi} {} g ( x ) dx = 0$이므로 $\displaystyle 3 \pi = \frac{2 \pi}{a} \times n$ ($n$은 자연수), $\displaystyle a = \frac{2}{3} n$ ㉠에서 $\displaystyle 0 < \frac{2}{3} n \leq 4$ 따라서 구하는 모든 실수 $a$의 값은 $\displaystyle \frac{2}{3}$, $\displaystyle \frac{4}{3}$, $2$, $\displaystyle \frac{8}{3}$, $\displaystyle \frac{10}{3}$, $4$이므로 그 합은 $14$이다.