사인함수 그래프 교점 개수의 최댓값

함수 $y = a \sin 2 x + b$$\left( 0 \leq x \leq 2 \pi \right)$의 그래프는 주기가 $\pi$이고 최댓값은 $a + b$, 최솟값은 $- a + b$이다. 직선 $y = k$와 함수 $y = a \sin 2 x + b$의 그래프의 교점의 개수는 방정식 $a \sin 2 x + b = k$, 즉 $\displaystyle \sin 2 x = \frac{k - b}{a}$ 의 실근의 개수와 같다. $2 x = t$라 놓으면 $\left. 0 \leq t \leq 4 \pi \right.$에서 방정식 $\sin t = c$$( c$는 상수$)$의 실근의 개수가 $\left| c \right| > 1$일 때 $0$ $\left| c \right| = 1$일 때 $2$ $0 < \left| c \right| < 1$일 때 $4$ $\left| c \right| = 0$일 때 $5$ 이다. $m$은 직선 $y = 1$과의 교점의 개수이고, $n$은 직선 $y = 6$과의 교점의 개수이므로 $m$은 방정식 $\displaystyle \sin 2 x = \frac{1 - b}{a}$의 근의 개수이고, $n$은 방정식 $\displaystyle \sin 2 x = \frac{6 - b}{a}$의 근의 개수이다. 이때 $m$과 $n$이 가질 수 있는 값은 $0$, $2$, $4$, $5$이므로 $m + n$의 값이 최대가 되려면 $m = 5$, $n = 4$ 또는 $m = 4$, $n = 5$ 이어야 한다. (ⅰ) $m = 5$, $n = 4$일 때 $m = 5$에서 $\displaystyle \frac{1 - b}{a} = 0$ $\therefore$ $b = 1$ $n = 4$에서 $\displaystyle 0 < \left| \frac{6 - b}{a} \right| < 1$ $b = 1$이므로 $\displaystyle 0 < \left| \frac{5}{a} \right| < 1$ 이때 $a$는 자연수이므로 $\displaystyle 0 < \frac{5}{a} < 1$ $\therefore$ $a > 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편 직선 $y = 6$이 함수 $y = a \sin 2 x + 1$의 치역 $\left\{ y \left| - a + 1 \leq y \leq a + 1 \right\} \right.$에 포함되어야 하므로 $- a + 1 \leq 6 \leq a + 1$에서 $a \geq 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a > 5$ 따라서 $10$이하의 자연수 $a$의 값은 $6$, $7$, $8$, $9$, $10$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 6 , 1 \right)$, $\left( 7 , 1 \right)$, $\left( 8 , 1 \right)$, $\left( 9 , 1 \right)$, $\left( 10 , 1 \right)$ 의 $5$개이다. (ⅰ) $m = 4$, $n = 5$일 때 $n = 5$에서 $\displaystyle \frac{6 - b}{a} = 0$ $\therefore$ $b = 6$ $m = 4$에서 $\displaystyle 0 < \left| \frac{1 - b}{a} \right| < 1$ $b = 6$이므로 $\displaystyle 0 < \left| - \frac{5}{a} \right| < 1$ 이때 $a$는 자연수이므로 $\displaystyle 0 < \frac{5}{a} < 1$ $\therefore$ $a > 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편 직선 $y = 1$이 함수 $y = a \sin 2 x + 6$의 치역 $\left\{ y \left| - a + 6 \leq y \leq a + 6 \right\} \right.$에 포함되어야 하므로 $- a + 6 \leq 1 \leq a + 6$에서 $a \geq 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a > 5$ 따라서 $10$이하의 자연수 $a$의 값은 $6$, $7$, $8$, $9$, $10$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 6 , 6 \right)$, $\left( 7 , 6 \right)$, $\left( 8 , 6 \right)$, $\left( 9 , 6 \right)$, $\left( 10 , 6 \right)$ 의 $5$개이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $a$, $b$의 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $5 + 5 = 10$