사인곡선과 사각형

함수 $\displaystyle y = 2 \sqrt{3} \sin \frac{\pi x}{4}$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\frac{\pi}{4}} = 8$이다. 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표를 $t \left( 0 < t < 2 \right)$라 하면, 세 점 ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$의 $x$좌표는 각각 $4 - t$, $4 + t$, $8 - t$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} = 4 - 2 t$이므로 사각형 ${\mathrm{ACDB}}$는 평행사변형이다. 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{C}}$의 좌표가 ${\mathrm{A}} \left( t , k \right)$, ${\mathrm{C}} \left( 4 + t , - k \right)$이고 직선 ${\mathrm{AC}}$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{- k - k}{\left( 4 + t \right) - t} = - \frac{3}{2}$ $k = 3$ 이다. ${\mathrm{A}} \left( t , 3 \right)$이므로 $\displaystyle f \left( t \right) = 2 \sqrt{3} \sin \frac{\pi t}{4} = 3$ $\displaystyle \sin \frac{\pi t}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 0 < \frac{\pi t}{4} < \frac{\pi}{2} \right)$ $\displaystyle \frac{\pi t}{4} = \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle t = \frac{4}{3}$ 이다. 따라서 사각형 ${\mathrm{ACDB}}$의 넓이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} \times 2 k = \left( 4 - 2 t \right) \times 6 = \left( 4 - 2 \times \frac{4}{3} \right) \times 6 = 8$ 이다.