사인곡선 위 삼각형 넓이

[출제의도] 삼각함수의 그래프 추론하기 곡선 $\displaystyle y = 4 \sin \frac{1}{4} \left( x - \pi \right)$와 직선 $y = 2$가 만나는 점을 구하면 $\displaystyle 4 \sin \frac{1}{4} \left( x - \pi \right) = 2$에서 $\displaystyle - \frac{\pi}{4} \leq \frac{x - \pi}{4} \leq \frac{9}{4} \pi$이므로 $\displaystyle \frac{x - \pi}{4}$의 값은 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$, $\displaystyle \frac{13}{6} \pi$ $\displaystyle x = \frac{5}{3} \pi$ 또는 $\displaystyle x = \frac{13}{3} \pi$ 또는 $\displaystyle x = \frac{29}{3} \pi$ 그러므로 만나는 점은 $\displaystyle \left( \frac{5}{3} \pi , 2 \right)$, $\displaystyle \left( \frac{13}{3} \pi , 2 \right)$, $\displaystyle \left( \frac{29}{3} \pi , 2 \right)$ 함수 $\displaystyle y = 4 \sin \frac{1}{4} \left( x - \pi \right)$의 치역이 $\left\{ y \left. - 4 \leq y \leq 4 _{{} _{}} \right\} \right.$ 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y = 2$ 사이의 거리를 $h$라 하면 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times h$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$의 최댓값은 $8 \pi$이고 $0 < h \leq 6$ $S$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \pi \times 6 = 24 \pi$ 따라서 $k = 24$