사인곡선 접선 x절편

[출제의도] 미분법을 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{P}$를 $\mathrm{P} \mathit{\left( \alpha , t \right)}$라 하면 $\sin \alpha = t$ $\displaystyle \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin ^{2} \alpha} = \sqrt{1 - t ^{2}}$이다. 접선의 방정식은 $y - f \left( \alpha \right) = f' \left( \alpha \right) \left( x - \alpha \right)$이고 $y - \sin \alpha = \cos \alpha \left( x - \alpha \right)$에서 $- \sin \alpha = \cos \alpha \left( g \left( t \right) - \alpha \right)$ $g \left( t \right) = \alpha - \tan \alpha$이다. $\sin \alpha = t$의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \cos \alpha \frac{d \alpha}{dt} = 1$이므로 $\displaystyle \frac{d \alpha}{dt} = \frac{1}{\cos \alpha}$ $g' \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{d \alpha}{dt} - \sec ^{2} \alpha \frac{d \alpha}{dt}$$\displaystyle = \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{1}{\cos ^{3} \alpha}$$\displaystyle = \frac{\cos ^{2} \alpha - 1}{\cos ^{3} \alpha}$ $\displaystyle = \frac{- t ^{2}}{\left( 1 - t ^{2} \right) ^{\frac{3}{2}}}$ 따라서 $\displaystyle g' \left( \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right) = - 24$