사인그래프 삼각형

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 자연수의 최댓값 구하는 문제 해결하기

$\displaystyle \frac{\pi}{2 n}$ $\displaystyle - \frac{\pi}{2 n}$

함수 $y = 3 \sin 2 nx$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{2 n} = \frac{\pi}{n}$이다. 원점을 지나고 기울기가 양수인 직선이 $\displaystyle - \frac{\pi}{2 n} < x < \frac{\pi}{2 n}$에서 함수 $y = 3 \sin 2 nx$의 그래프와 만나는 원점이 아닌 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 실수 $t$$\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2 n} < t < \frac{\pi}{2 n} , t \ne 0 \right)$에 대하여 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( t , 3 \sin 2 nt \right)$라 하면 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( - t , - 3 \sin 2 nt \right)$이다. 삼각형 $\mathrm{AOC}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{BOC}$의 넓이가 같으므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2 n} \times 3 \left| \sin 2 nt \right| = \frac{\pi}{12}$ 이고 $\displaystyle \left| \sin 2 nt \right| = \frac{n}{18}$이다. $0 < \left| \sin 2 nt \right| \leq 1$이므로 $\displaystyle 0 < \frac{n}{18} {\leq} 1$이다. 따라서 $n$의 최댓값은 $18$이다.