사인법칙과 삼각형 넓이

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = k$라 하면 $\displaystyle 2 \overline{{\mathrm{AB}}} = \overline{{\mathrm{AC}}}$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AC}}} = 2 k$ 점 ${\mathrm{M}}$은 선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AM}}} = \frac{k}{2}$ 점 ${\mathrm{N}}$은 선분 ${\mathrm{AC}}$를 $3 : 5$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AN}}} = 2 k \times \frac{3}{8} = \frac{3}{4} k$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{MN}}} = \overline{{\mathrm{AB}}} = k$이므로 삼각형 ${\mathrm{AMN}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos A = \frac{\left( \frac{k}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{3}{4} k \right) ^{2} - k ^{2}}{2 \times \frac{k}{2} \times \frac{3}{4} k} = - \frac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle \sin A = \sqrt{1 - \cos ^{2} A} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ 삼각형 ${\mathrm{AMN}}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하면 $\pi R ^{2} = 16 \pi$에서 $R = 4$ 삼각형 ${\mathrm{AMN}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{MN}}}}{\sin A} = 2 R$에서 $\displaystyle \frac{k}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = 8$, $\displaystyle k = 2 \sqrt{15}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times \sin A$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{15} \times 4 \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = 15 \sqrt{15}$