사인법칙과 코사인법칙으로 삼각형의 넓이 구하기

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$라 하면 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \sin A = \frac{a}{2 R}$, $\displaystyle \sin B = \frac{b}{2 R}$, $\displaystyle \sin C = \frac{c}{2 R}$ 조건 (가)에서 $( 1 - \sin ^{2} A ) + ( 1 - \sin ^{2} B ) - ( 1 - \sin ^{2} C ) = 1$ $\sin ^{2} A + \sin ^{2} B = \sin ^{2} C$ $\displaystyle \left( \frac{a}{2 R} \right) ^{2} + \left( \frac{b}{2 R} \right) ^{2} = \left( \frac{c}{2 R} \right) ^{2}$ 즉 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $c = 6$이고 $C = 90 ^\circ$인 직각삼각형이다. $a ^{2} + b ^{2} = 36$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \cos A = \frac{b}{6}$, $\displaystyle \cos B = \frac{a}{6}$이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} b}{6} + \frac{2 a}{6} + {\sqrt{2} \times 0} = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle a + \sqrt{2} b = 6 \sqrt{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $\displaystyle b ^{2} - 4 \sqrt{6} b + 24 = 0$, $\displaystyle \left( b - 2 \sqrt{6} \right) ^{2} = 0$ $\therefore$ $\displaystyle b = 2 \sqrt{6}$, $\displaystyle a = 2 \sqrt{3}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} = 6 \sqrt{2}$