대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사인 코사인 세제곱 합

문제

sin⁡θ+cos⁡θ=23\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}일 때, sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin ^{3} \theta + \cos ^{3} \theta의 값은? [3점] ①1927\displaystyle \frac{19}{27}②2027\displaystyle \frac{20}{27}③79\displaystyle \frac{7}{9}④2227\displaystyle \frac{22}{27}⑤2327\displaystyle \frac{23}{27}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다. sin⁡θ+cos⁡θ=23\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1이므로 (sin⁡θ+cos⁡θ)2=( \sin \theta + \cos \theta ) ^{2} =sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ\sin ^{2} \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos ^{2} \theta 49=1+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \frac{4}{9} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta ∴\therefore sin⁡θcos⁡θ=−518\displaystyle \sin \theta \cos \theta = - \frac{5}{18} sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin ^{3} \theta + \cos ^{3} \theta=(sin⁡θ+cos⁡θ)3−3sin⁡θcos⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)= ( \sin \theta + \cos \theta ) ^{3} - 3 \sin \theta \cos \theta ( \sin \theta + \cos \theta ) =827−3×(−518)×23\displaystyle = \frac{8}{27} - 3 \times \left( - \frac{5}{18} \right) \times \frac{2}{3}=2327\displaystyle = \frac{23}{27}

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#삼각함수#곱셈공식

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