사인 합성함수 극대

모든 자연수 $n$에 대하여 $g \left( a _{n} \right) = \sin \left| \pi f \left( a _{n} \right) \right| = 0$이므로 $f \left( a _{n} \right)$의 값은 정수이다. $\displaystyle \cos \left\{ \pi f \left( a _{n} \right) \right\} = {\begin{cases} 1 & & \left( f \left( a _{n} \right) = 2 p \right) \\ & & \\ - 1 & & \left( f \left( a _{n} \right) = 2 p - 1 \right) \left( \text{단} , p \text{는} \text{정수} \right) \end{cases}}$$\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $y = \sin \left| \pi x \right|$의 그래프는 그림과 같다.

$- 1 < x < 0$ 또는 $0 < x < 1$일 때 $\sin \left| \pi x \right| > 0$ $f \left( a _{4} \right) = 0$이면 $g \left( a _{4} \right) = \sin \left| \pi f \left( a _{4} \right) \right| = 0$이고, $f \left( a _{3} \right)$과 $f \left( a _{5} \right)$의 값은 각각 $\mathrm{-} 1$ 또는 $\mathrm{0}$ 또는 $\mathrm{1}$$a _{3} < x < a _{4}$ 또는 $a _{4} < x < a _{5}$일 때 $0 < \left| f \left( x \right) \right| < 1$이므로 $g \left( x \right) = \sin \left| \pi f \left( x \right) \right| > 0$ 함수 $g ( x )$는 $x = a _{4}$에서 극대가 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $f \left( a _{4} \right) \neq 0$ 함수 $g ( x )$가 $x = a _{4}$에서 미분가능하고 조건 (가)에 의하여 $g' \left( a _{4} \right) = 0$ $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} \sin \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} & & \left( f \left( x \right) \geq 0 \right) \\ - \sin \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} & & \left( f \left( x \right) < 0 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} \pi f' \left( x \right) \cos \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} & & \left( f \left( x \right) > 0 \right) \\ - \pi f' \left( x \right) \cos \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} & & \left( f \left( x \right) < 0 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle g'' \left( x \right) = {\begin{cases} \begin{matrix} \pi f'' \left( x \right) \cos \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} \\ - \pi ^{2} \left\{ f' \left( x \right) \right\} ^{2} \sin \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} \end{matrix} & \left( f \left( x \right) > 0 \right) \\ \begin{matrix} - \pi f'' \left( x \right) \cos \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} \\ + \pi ^{2} \left\{ f' \left( x \right) \right\} ^{2} \sin \left\{ \pi f \left( x \right) \right\} \end{matrix} & \left( f \left( x \right) < 0 \right) \end{cases}}$ 에서 $f' \left( a _{4} \right) = 0$ 위와 같은 방법으로 $f \left( a _{8} \right) \neq 0$이고 $f' \left( a _{8} \right) = 0$ 그러므로 $f' \left( x \right) = 3 \left( x - a _{4} \right) \left( x - a _{8} \right)$ $f'' \left( a _{4} \right) < 0$, $f'' \left( a _{8} \right) > 0$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 $f \left( a _{8} \right) = f \left( a _{4} \right) - 4$이다. (ⅰ) $f \left( a _{4} \right) < 0$인 경우

함수 $g ( x )$가 $x = a _{4}$에서 극대이므로 $g'' \left( a _{4} \right) = - \pi f'' \left( a _{4} \right) \cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} < 0$ $f'' \left( a _{4} \right) < 0$이므로 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} < 0$ ㉠에 의하여 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} = - 1$ $f \left( a _{4} \right) = 2 q + 1$ (단, $q$는 음의 정수) $f \left( a _{8} \right) = f \left( a _{4} \right) - 4 = 2 q - 3$에서 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{8} \right) \right\} = - 1$이고 $f'' \left( a _{8} \right) > 0$이므로 $g'' \left( a _{8} \right) = - \pi f'' \left( a _{8} \right) \cos \left\{ \pi f \left( a _{8} \right) \right\} > 0$ 함수 $g ( x )$가 $x = a _{8}$에서 극소이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( a _{8} \right) > 0$인 경우

함수 $g ( x )$가 $x = a _{8}$에서 극대이므로 $g'' \left( a _{8} \right) = - \pi f'' \left( a _{8} \right) \cos \left\{ \pi f \left( a _{8} \right) \right\} < 0$ $f'' \left( a _{8} \right) > 0$이므로 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{8} \right) \right\} > 0$ ㉠에 의하여 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{8} \right) \right\} = 1$ $f \left( a _{8} \right) = 2 r ($단, $r$는 자연수$)$ $f \left( a _{4} \right) = f \left( a _{8} \right) + 4 = 2 r + 4$에서 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} = 1$이고 $f'' \left( a _{4} \right) < 0$이므로 $g'' \left( a _{4} \right) = - \pi f'' \left( a _{4} \right) \cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} > 0$ 함수 $g ( x )$가 $x = a _{4}$에서 극소이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $f \left( a _{8} \right) < 0 < f \left( a _{4} \right)$인 경우 $f \left( a _{4} \right) - 4 = f \left( a _{8} \right) < 0 < f \left( a _{4} \right)$이므로 $0 < f \left( a _{4} \right) < 4$ $f \left( a _{4} \right) = 1$ 또는 $f \left( a _{4} \right) = 2$ 또는 $f \left( a _{4} \right) = 3$ 함수 $g ( x )$가 $x = a _{4}$에서 극대이므로 $g'' \left( a _{4} \right) = - \pi f'' \left( a _{4} \right) \cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} < 0$ $f'' \left( a _{4} \right) < 0$이므로 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} > 0$ ㉠에 의하여 $\cos \left\{ \pi f \left( a _{4} \right) \right\} = 1$ $f \left( a _{4} \right) = 2 s ($단, $s$는 자연수$)$ 그러므로 $f \left( a _{4} \right) = 2$이고 $f \left( a _{8} \right) = - 2$ 조건 (나)에 의하여 $f \left( a _{8} \right) = f \left( 0 \right) = - 2$ $m = 8$

$f \left( x \right) = x \left( x - a _{8} \right) ^{2} - 2$ $\displaystyle f' \left( x \right) = \left( x - a _{8} \right) ^{2} + 2 x \left( x - a _{8} \right) = 3 \left( x - a _{8} \right) \left( x - \frac{a _{8}}{3} \right)$ $f' \left( a _{4} \right) = 0$에서 $\displaystyle a _{4} = \frac{a _{8}}{3}$ $f \left( a _{4} \right) = a _{4} \left( a _{4} - a _{8} \right) ^{2} - 2 = 2$이므로 $\displaystyle \frac{a _{8}}{3} \left( - \frac{2 a _{8}}{3} \right) ^{2} - 2 = 2$, $a _{8} = 3$ $f \left( x \right) = x \left( x - 3 \right) ^{2} - 2$ $f ( m ) = f ( 8 ) = 8 \times 5 ^{2} - 2 = 198$이고 $k \geq 8$일 때 $f \left( a _{k} \right) = k - 10$이므로 따라서 $f \left( a _{k} \right) \leq f ( 8 )$인 $k$의 최댓값은 $\mathrm{208}$