사각형과 외접원 빈칸

삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle R _{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times {\overline{\mathrm{BD}}}$ 이고, 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BD}}}}{\sin \frac{2}{3} \pi} = \mathit{2} R _{2}$에서 $\displaystyle R _{2} = {\square {\frac{\sqrt{3}}{3}}} \times {\overline{\mathrm{BD}}}$ 이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{AD}} \times \cos \frac{2}{3} \pi$ $\displaystyle = 2 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \times 2 \times 1 \times \left( - \frac{1}{2} \right)$ $= 2 ^{2} + 1 ^{2} - \left( {\square {- 2} )} \right.$ $= 7$ 이므로 $\displaystyle R _{1} \times R _{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3} \times {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2} = {\square {\frac{7}{6} \sqrt{6}}}$ 이상에서 $\displaystyle p = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $q = - 2$, $\displaystyle r = \frac{7}{6} \sqrt{6}$이므로 $\displaystyle 9 \left( pqr \right) ^{2} = 9 \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \times \left( - 2 \right) \times \frac{7 \sqrt{6}}{6} \right) ^{2} = 98$