대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사각형과 코사인법칙

문제

그림과 같이 BC‾=3,CD‾=2,cos⁡(∠BCD)=−13,∠DAB>\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 3 , \mathrm{\overline{CD}} = 2 , \cos \left( \mathrm{\angle} BCD \right) = \mathit{-} \frac{1}{3} , \angle \mathrm{DAB} > π2\displaystyle \frac{\pi}{2} 인 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 두 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 ACD\mathrm{ACD}는 모두 예각삼각형이다. 선분 AC\mathrm{AC}를 1:21 : 2로 내분하는 점 E\mathrm{E}에 대하여 선분 AE\mathrm{AE}를 지름으로 하는 원이 두 선분 AB,AD\mathrm{AB} , AD와 만나는 점 중 A\mathrm{A}가 아닌 점을 각각 P1,P2\mathrm{P} _{1} , P _{2}라 하고, 선분 CE\mathrm{CE}를 지름으로 하는 원이 두 선분 BC,CD\mathrm{BC} , CD와 만나는 점 중 C\mathrm{C}가 아닌 점을 각각 Q1,Q2\mathrm{Q} _{1} , Q _{2}라 하자. P1P2‾:Q1Q2‾=3:52\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} : \mathrm{\overline{Q _{1} Q _{2}}} = 3 : 5 \sqrt{2}이고 삼각형 ABD\mathrm{ABD}의 넓이가 22일 때, AB‾+AD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} + \mathrm{\overline{AD}}의 값은? (단, AB‾>AD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} > \mathrm{\overline{AD}}) [4점]

①21\displaystyle \sqrt{21}②22\displaystyle \sqrt{22}③23\displaystyle \sqrt{23}④26\displaystyle 2 \sqrt{6}⑤55

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①

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해설

[출제의도] 사인법칙, 코사인법칙과 삼각형의 넓이를 이용하여 조건을 만족시키는 사각형의 변의 길이를 구할 수 있는가 ∠BCD=α\mathrm{\angle} BCD = \alpha, ∠DAB=β\mathrm{\angle} DAB = \beta (π2<β<π)\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \right), AB‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{a}, AD‾=b\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}}} = b라 하자. 삼각형 BCD\mathrm{BCD}에서 BC‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 3, CD‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 2, cos⁡(∠BCD)\cos \left( \mathrm{\angle} BCD \right)=−13\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{3} 이므로 코사인법칙에 의하여 BD‾2\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} \mathit{^{2}}=9+4−2×3×2×(−13)\displaystyle = 9 + 4 - 2 \times 3 \times 2 \times \left( - \frac{1}{3} \right)=17= 17 그러므로 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 코사인법칙에 의하여 a2+b2−2abcos⁡β=17a ^{2} + b ^{2} - 2 ab \cos \beta = 17 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 한편, 점 E\mathrm{E}가 선분 AC\mathrm{AC}를 1:21 : 2로 내분하는 점이므로 두 삼각형 AP1P2\mathrm{AP} _{1} P _{2}, CQ1Q2\mathrm{CQ} _{1} Q _{2}의 외접원의 반지름의 길이를 각각 rr, 2r2 r로 놓을 수 있다. 이때 사인법칙에 의하여 P1P2‾sin⁡β=r\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}}}{\sin \beta} = r, Q1Q2‾sin⁡α=2r\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{Q _{1} Q _{2}}}}{\sin \alpha} = 2 r 이므로 sin⁡α:sin⁡β\sin \alpha : \sin \beta=Q1Q2‾2r:P1P2‾r\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{Q _{1} Q _{2}}}}{2 r} : \frac{\mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}}}{r}=522:3\displaystyle = \frac{5 \sqrt{2}}{2} : 3 즉, sin⁡β=6sin⁡α52\displaystyle \sin \beta = \frac{6 \sin \alpha}{5 \sqrt{2}} 이때 sin⁡α\sin \alpha=1−cos⁡2α\displaystyle = \sqrt{1 - \cos ^{2} \alpha}=1−19\displaystyle = \sqrt{1 - \frac{1}{9}}=223\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2}}{3} 이므로 sin⁡β\sin \beta=652×223=45\displaystyle = \frac{6}{5 \sqrt{2}} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{4}{5} cos⁡β<0\cos \beta < 0이므로 cos⁡β\cos \beta=−1−sin⁡2β\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{1 - \sin ^{2} \beta}=−1−1625\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{1 - \frac{16}{25}}=−925\displaystyle = \mathit{-} \sqrt{\frac{9}{25}}=−35\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{5} 삼각형 ABD\mathrm{ABD}의 넓이가 22이므로 12absin⁡β=2\displaystyle \frac{1}{2} ab \sin \beta = 2 에서 12ab×45=2\displaystyle \frac{1}{2} ab {\times} \frac{4}{5} = 2 ab=5ab = 5 ㉠에서 a2+b2−2×5×(−35)=17\displaystyle a ^{2} + b ^{2} - 2 \times 5 \times \left( - \frac{3}{5} \right) = 17 a2+b2=11a ^{2} + b ^{2} = 11 따라서 (a+b)2\left( a + b \right) ^{2}=a2+b2+2ab= a ^{2} + b ^{2} + 2 ab=11+2×5=21= 11 + 2 \times 5 = 21 이므로 a+b=21\displaystyle a + b = \sqrt{21}

태그

#사인법칙#코사인법칙#삼각형의 넓이

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