사각형 넓이 최댓값

두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$는 직선 $y = 4 a$와 함수 $f \left( x \right) = ax ^{2}$의 그래프가 만나는 점이므로 $4 a = ax ^{2}$, $x ^{2} = 4$ $x = - 2$ 또는 $x = 2$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $\left( - 2 , 4 a \right)$, $\left( 2 , 4 a \right)$ 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 직선 $y = ax$와 함수 $g \left( x \right) = - a \left( x - a \right) ^{2} + a ^{2}$의 그래프가 만나는 점이므로 $ax = - a \left( x - a \right) ^{2} + a ^{2}$ $x ^{2} - \left( 2 a - 1 \right) x + a \left( a - 1 \right) = 0$ $\left( x - a + 1 \right) \left( x - a \right) = 0$ $x = a - 1$ 또는 $x = a$ 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 좌표는 각각 $\left( a - 1 , a ^{2} - a \right)$, $\left( a , a ^{2} \right)$ 직선 $y = 4 a$와 직선 $y = ax$가 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하면 $4 a = ax$, $x = 4$ 점 $\mathrm{E}$의 좌표는 $\left( 4 , 4 a \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = \left| 4 - \left( - 2 \right) \right| = 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}} = \left| 4 - 2 \right| = 2$ 점 $\mathrm{C} \mathit{\left( a - 1 , a ^{2} - a \right)}$와 직선 $y = 4 a$ 사이의 거리를 $h _{1}$이라 하면 $h _{1} = \left| 4 a - \left( a ^{2} - a \right) \right| = - a ^{2} + 5 a$ 삼각형 $\mathrm{ACE}$의 넓이를 $S _{1}$이라 하면 $S _{1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AE}}} \times h _{1} = \frac{1}{2} \times 6 \times \left( - a ^{2} + 5 a \right)$$= - 3 a ^{2} + 15 a$ 점 $\mathrm{D} \mathit{\left( a , a ^{2} \right)}$과 직선 $y = 4 a$ 사이의 거리를 $h _{2}$라 하면 $h _{2} = \left| 4 a - a ^{2} \right| = - a ^{2} + 4 a$ 삼각형 $\mathrm{BDE}$의 넓이를 $S _{2}$라 하면 $S _{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BE}}} \times h _{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times \left( - a ^{2} + 4 a \right)$$= - a ^{2} + 4 a$ 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이를 $S$라 하면 $S$$= S _{1} - S _{2} = \left( - 3 a ^{2} + 15 a \right) - \left( - a ^{2} + 4 a \right)$ $\displaystyle = - 2 a ^{2} + 11 a = - 2 \left( a - \frac{11}{4} \right) ^{2} + \frac{121}{8}$ $2 < a < 4$에서 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이는 $\displaystyle a = \frac{11}{4}$일 때, 최댓값 $\displaystyle M = \frac{121}{8}$을 갖는다. 따라서 $8 \times M = 121$