색종이 직사각형 둘레

[출제의도] 주어진 상황에 맞게 이차식을 세우고 그 값을 구한다. $\displaystyle \sqrt{3} = x$라고 하면 $\mathrm{A}$ 색종이 한 장의 넓이는 $x ^{2}$ $\mathrm{B}$ 색종이 한 장의 넓이는 $2 x$ $\mathrm{C}$ 색종이 한 장의 넓이는 $1$ $\mathrm{A}$ 색종이 $5$장, $\mathrm{B}$ 색종이 $11$장, $\mathrm{C}$ 색종이 $8$장을 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 만든 직사각형의 넓이는 $5 x ^{2} + 22 x + 8$이다. 이 식을 자연수 계수를 갖는 두 일차식의 곱으로 표현하면 $5 x ^{2} + 22 x + 8 = ( 5 x + 2 ) ( x + 4 )$ 즉, 직사각형의 두 변의 길이는 $5 x + 2$, $x + 4$ 로 나타낼 수 있다. ∴ 구하는 직사각형의 둘레의 길이는 $2 ( 5 x + 2 ) + 2 ( x + 4 ) = 10 x + 4 + 2 x + 8$$= 12 x + 12$$\displaystyle = 12 + 12 \sqrt{3}$ 따라서 $a = 12$, $b = 12$이고 $a + b = 24$ [참고] 색종이 $24$장 각각의 넓이의 합 $S$는 $S =$$\displaystyle 5 \cdot ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} ) + 11 \cdot ( 2 \times \sqrt{3} ) + 8 \cdot ( 1 \times 1 )$ $\displaystyle = 5 \cdot \left( \sqrt{3} \right) ^{2} + 22 \cdot \left( \sqrt{3} \right) + 8$ $\displaystyle = \left( 5 \sqrt{3} + 2 \right) \left( \sqrt{3} + 4 \right)$ 이므로 $\displaystyle 5 \sqrt{3} + 2$와 $\displaystyle \sqrt{3} + 4$를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이 $\displaystyle \left( 5 \sqrt{3} + 2 \right) \left( \sqrt{3} + 4 \right)$와 같다. 따라서 24장의 색종이를 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙인 직사각형의 두 변의 길이는 $\displaystyle 5 \sqrt{3} + 2$와 $\displaystyle \sqrt{3} + 4$이다.