미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사차식과 사인 부등식

문제

모든 실수 xx에 대하여 부등식 3x4−8x3−6x2+24x≥k−2sin⁡π2x\displaystyle 3 x ^{4} - 8 x ^{3} - 6 x ^{2} + 24 x \geq k - 2 \sin \frac{\pi}{2} x가 성립할 때, 상수 kk의 최댓값은? [3점] ①−23- 23②−22- 22③−21- 21④−20- 20⑤−19- 19

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③

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해설

[출제의도] 미분을 이용한 부등식의 수학내적 문제해결하기 f(x)=3x4−8x3−6x2+24xf ( x ) = 3 x ^{4} - 8 x ^{3} - 6 x ^{2} + 24 x g(x)=k−2sin⁡π2x\displaystyle g ( x ) = k - 2 \sin \frac{\pi}{2} x f′(x)=12(x−2)(x−1)(x+1)f' ( x ) = 12 ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )이므로 f(x)f ( x )의 최솟값은 x=−1x = - 1일 때, −19- 19 k−2≤k−2sin⁡π2x≤k+2\displaystyle k - 2 \leq k - 2 \sin \frac{\pi}{2} x \leq k + 2이므로 g(−1)=k+2g ( - 1 ) = k + 2는 g(x)g ( x )의 최댓값이다. 따라서 k+2≤−19k + 2 \leq - 19이므로 kk의 최댓값은 −21- 21

태그

#최솟값#부등식

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