사차식 인수와 나머지

조건 (가)에 의하여 다항식 $f ( x )$는 계수와 상수항이 모두 실수인 일차식을 인수로 갖지 않으므로 계수와 상수항이 모두 실수인 삼차식도 인수로 갖지 않는다. 조건 (나)에서 $h ( x )$를 $g ( x )$로 나눈 나머지가 일차식이므로 $g ( x )$는 차수가 $\mathrm{2}$ 이상인 다항식이고 $h ( x )$는 차수가 $\mathrm{1}$ 이상인 다항식이다. 두 다항식 $g ( x )$와 $h ( x )$는 다항식 $f ( x )$의 인수이므로, 두 다항식 $g ( x )$와 $h ( x )$의 차수는 $\mathrm{2}$ 또는 $\mathrm{4}$이다. 다항식 $h ( x )$의 최고차항의 계수가 $\mathrm{1}$이므로 다항식 $h ( x )$의 차수가 $\mathrm{4}$이면 $h ( x ) = f ( x )$이다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 따라서 다항식 $h ( x )$의 차수는 $\mathrm{2}$이다. 다항식 $g ( x )$의 차수가 $\mathrm{4}$이면, 다항식 $h ( x )$를 $g ( x )$로 나눈 나머지가 $h ( x )$이므로, 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 따라서 두 다항식 $g ( x )$와 $h ( x )$는 각각 최고차항의 계수가 $\mathrm{1}$인 이차식이고, 조건 (나)에 의하여 $h ( x ) = g ( x ) - 4 x - 1$이다. 그러므로 $g ( x ) \neq h ( x )$이고 복소수 $k$에 대하여 $g ( x )$와 $h ( x )$가 일차식 $x - k$를 공통인수로 가지면 $g ( k ) = h ( k ) = 0$이고 $h \left( k \right) = g \left( k \right) - 4 k - 1$에서 $\displaystyle k = - \frac{1}{1}$이다. 이때 $\displaystyle x = - \frac{1}{4}$은 방정식 $f ( x ) = 0$의 실근이 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 따라서 $g ( x )$와 $h ( x )$는 차수가 $\mathrm{1}$ 이상인 다항식을 공통인수로 갖지 않고 $f ( x ) = g ( x ) h ( x )$이다. $g \left( x \right) = x ^{2} + px + q$라 하자. (단, $p$, $q$는 실수) $h \left( x \right) = g \left( x \right) - 4 x - 1 = x ^{2} + px - 4 x + q - 1$ $f \left( x \right) = g \left( x \right) h \left( x \right)$에서 $x ^{4} + \left( a + 2 \right) x ^{3} + bx ^{2} + ax + 6$$= \left( x ^{2} + px + q \right) \left( x ^{2} + px - 4 x + q - 1 \right)$ 양변의 상수항을 비교하면 $6 = q ^{2} - q$에서 $q ^{2} - q - 6 = \left( q + 2 \right) \left( q - 3 \right) = 0$ $q = - 2$ 또는 $q = 3$ 그런데 $q = - 2$이면 이차방정식 $g \left( x \right) = x ^{2} + px - 2 = 0$의 판별식을 $D$라 할 때, $D = p ^{2} + 8 \geq 0$이므로 $g \left( x \right) = 0$은 실근을 갖고, 방정식 $f ( x ) = g ( x ) h ( x ) = 0$은 실근을 갖게 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 따라서 $q = 3$이고 $g ( x ) = x ^{2} + p x + 3$, $h ( x ) = x ^{2} + p x - 4 x + 2$ $f ( x ) = g ( x ) h ( x ) = \left( x ^{2} + p x + 3 \right) \left( x ^{2} + p x - 4 x + 2 \right)$에서 $x ^{4} + ( a + 2 ) x ^{3} + b x ^{2} + a x + 6$$= x ^{4} + ( 2 p - 4 ) x ^{3} + \left( p ^{2} - 4 p + 5 \right) x ^{2} + ( 5 p - 12 ) x + 6$ 양변의 계수를 비교하면 $2 p - 4 = a + 2$, $5 p - 12 = a$ $2 p - 6 = 5 p - 12$에서 $p = 2$이고 $g ( x ) = x ^{2} + 2 x + 3$, $h ( x ) = x ^{2} - 2 x + 2$이다. 이차방정식 $g ( x ) = x ^{2} + 2 x + 3 = 0$의 판별식을 $D _{1}$이라 할 때, $\displaystyle \frac{D _{1}}{4} = 1 ^{2} - 3 = - 2 < 0$이므로 이차방정식 $g ( x ) = 0$은 실근을 갖지 않는다. 이차방정식 $h ( x ) = x ^{2} - 2 x + 2 = 0$의 판별식을 $D _{2}$라 할 때, $\displaystyle \frac{D _{2}}{4} = \left( - 1 \right) ^{2} - 2 = - 1 < 0$이므로 이차방정식 $h ( x ) = 0$은 실근을 갖지 않는다. 그러므로 방정식 $f ( x ) = g ( x ) h ( x ) = 0$은 실근을 갖지않고, 두 다항식 $g ( x ) = x ^{2} + 2 x + 3$, $h ( x ) = x ^{2} - 2 x + 2$는 조건을 만족시킨다. 따라서 $a = 5 p - 12 = - 2$, $b = p ^{2} - 4 p + 5 = 1$ $a ^{2} + b ^{2} = \left( - 2 \right) ^{2} + 1 ^{2} = 5$