사차함수와 지수함수 합성

$f ( x ) = 0$의 근이 $x = 0$이라 가정하면 $f ( g ( x ) ) = 0$의 근은 $g ( x ) = 0$, $x = 0$이므로 $h ( x ) = 0$의 실근이 1개이다. $f ( x )$의 최솟값이 $0$이고 $h ( x )$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} ( x - \alpha ) ^{2}$이고 $\alpha \leq g ( 2 )$이다.

$h ( x ) = 8$의 실근이 $6$개이므로 $f ( x )$의 극댓값은 $8$이다. $f ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{\alpha}{2}$에서 극대이므로 $\displaystyle f \left( \frac{\alpha}{2} \right) = 8$이고 $\alpha = 4$이다. $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x ^{2} ( x - 4 ) ^{2}$이고 $f' ( 5 ) = 30$이다.