사차함수와 근 개수

$\left| g \left( x \right) \right| = \left| f \left( x \right) \right|$이므로 $g \left( x \right) = f \left( x \right)$ 또는 $g \left( x \right) = - f \left( x \right)$ 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 점에서만 $g \left( x \right)$는 $f \left( x \right)$ 또는 $- f \left( x \right)$로 바뀔 수 있다. 따라서 함수 $g \left( x \right)$가 미분불가능한 점은 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 점이므로 조건 (나)에 의하여 $f \left( a \right) = 0$, $f \left( b \right) = 0$이다. 한편 조건 (가)에서 $f \left( - 2 \right) = 0$이고 조건 (나)에서 함수 $g \left( x \right)$가 미분가능하지 않은 점은 양수일 때 뿐이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = - 2$에서 $x$축에 접해야 한다. 따라서 $f \left( x \right) = \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - a \right) \left( x - b \right)$ $\left( a < b \right)$ 로 놓을 수 있고 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같고 함수 $f \left( x \right)$가 극솟값을 갖는 양수 $x$의 값을 $\beta$라 하자.

이때 $f' \left( 0 \right) = 0$이므로 $f' \left( x \right)$$= 2 \left( x + 2 \right) \left( x - a \right) \left( x - b \right) + \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - b \right)$$+ \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - a \right)$ 에서 $f' \left( 0 \right)$$= 4 ab - 4 a - 4 b = 0$ $\therefore$ $ab = a + b$ 한편 조건 (다)에서 모든 실수 $t$에 대하여 $h \left( t \right) > 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} g \left( x \right) = \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {} g \left( x \right) = - \infty$ 또는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} g \left( x \right) = - \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {} g \left( x \right) = \infty$ 이어야 한다. 따라서 함수 $g \left( x \right)$는 함수 $f \left( x \right)$가 $x$축과 만나는 점인 $- 2$, $a$, $b$에서 $f \left( x \right)$ 또는 $- f \left( x \right)$로 바뀌어야 하고 이는 다음 $2$가지 경우이다. (ⅰ) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} g \left( x \right) = \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {} g \left( x \right) = - \infty$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

이때 $f \left( 0 \right) > - f \left( \beta \right)$이면 $h \left( f \left( 0 \right) \right) = 2$가 되어 조건 (다)의 $h \left( f \left( 0 \right) \right) > 2$를 만족시키지 않는다. 따라서 $f \left( 0 \right) \leq - f \left( \beta \right)$ 이고 $\displaystyle h \left( \frac{64}{3} \right) = 4$이므로 $f \left( 0 \right) < - f \left( \beta \right)$이고, $\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{64}{3}$ 따라서 $\displaystyle f \left( 0 \right) = \left( 0 + 2 \right) ^{2} \left( 0 - a \right) \left( 0 - b \right) = 4 ab = \frac{64}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle ab = \frac{16}{3}$, $\displaystyle a + b = \frac{16}{3}$ $\left( \because ab = a + b \right)$ 두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle a = \frac{4}{3}$, $b = 4$ (ⅱ) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} g \left( x \right) = - \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {} g \left( x \right) = \infty$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

이때 $\displaystyle h \left( \frac{64}{3} \right) = 1$이므로 주어진 조건 $\displaystyle h \left( \frac{64}{3} \right) = 4$를 만족시키지 못한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} - f \left( x \right) & & \left( x < - 2 \right) \\ f \left( x \right) & & \left( - 2 \leq x < a \right) \\ - f \left( x \right) & & \left( a \leq x < b \right) \\ f \left( x \right) & & \left( b \leq x \right) \end{cases}}$ 따라서 구하는 값 $\left| g \left( - 3 \right) + g \left( 0 \right) \right|$$= \left| - f \left( - 3 \right) + f \left( 0 \right) \right|$ 에서 $f \left( - 3 \right)$$= \left( - 3 + 2 \right) ^{2} \left( - 3 - a \right) \left( - 3 - b \right)$ $= 9 + 3 a + 3 b + ab$ $= 9 + 4 ab$ ($\because a + b = ab$) $f \left( 0 \right) = \left( 0 + 2 \right) ^{2} \left( 0 - a \right) \left( 0 - b \right) = 4 ab$ $\therefore$ $\left| g \left( - 3 \right) + g \left( 0 \right) \right|$$= \left| - f \left( - 3 \right) + f \left( 0 \right) \right|$ $= \left| - 9 - 4 ab + 4 ab \right|$ $= 9$