사차함수와 두 점에서 접하는 직선이 만드는 넓이

직선 $l$의 방정식을 $y = g ( x )$라 하자. (단, $g ( x )$는 일차 이하의 다항함수) 직선 $l$과 곡선 $y = f ( x )$가 서로 다른 두 점에서 접하므로 이 두 점의 $x$좌표를 $\alpha$, $\beta$($\alpha < \beta$)라 하면 $f ( x ) - g ( x )$$= ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta ) ^{2}$이 성립한다.

그런데 $g ( x )$는 $1$차 이하의 다항함수이므로 다항식 $f ( x ) - g ( x )$의 $x ^{3}$과 $x ^{2}$항의 계수는 $f ( x )$와 같다. $f ( x ) - g ( x )$의 $x ^{3}$의 계수는 $0$이므로 근과 계수와의 관계에서 방정식 $f ( x ) - g ( x ) = 0$의 중근을 포함한 모든 근의 합 $2 ( \alpha + \beta ) = 0$이다. ∴ $\beta = - \alpha$ $f ( x ) - g ( x )$$= ( x - \alpha ) ^{2} ( x + \alpha ) ^{2}$$= ( x ^{2} - \alpha ^{2} ) ^{2}$$= x ^{4} - 2 \alpha ^{2} x ^{2} + \alpha ^{4}$ $f ( x ) - g ( x )$의 $x ^{2}$의 계수는 $- 2$이므로 $- 2 \alpha ^{2}$$= - 2$ ∴ $\alpha = - 1$, $\beta = 1$ (∵ $\alpha < \beta$) ∴ $f ( x ) - g ( x )$$= x ^{4} - 2 x ^{2} + 1$ ∴ $A$$\displaystyle = \int _{-1} ^{1} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{-1} ^{1} ( x ^{4} - 2 x ^{2} + 1 ) dx$ $\displaystyle = 2 \left[ \frac{x ^{5}}{5} - \frac{2}{3} x ^{3} + x \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{16}{15}$ ∴ $30 A$$= 32$